Question

酢豚

左右対称形の円順列は表裏同じだから1個、左右非対称形の円順列は裏返すと同じものが2通りあるから÷２してるのはわかるんですが、左右非対称形も÷２して1個って考えてると思ったので全部÷２で良いと思ったんですがなんでだめなんですか……😵‍💫
語彙力なくてすみません😭

382
重要 例題 31 同じものを含む円順列
0000
白玉4個、黒玉が3個, 赤玉が1個あるとする。 これらを1列に並べる方法は
通り、円形に並べる方法は通りある。更に、これらの玉にひもを通
し, 輪を作る方法は通りある。
指針(イ)円形に並べるときは,1つのものを固定の考え方が有効。
【近畿大
基本18.重要
ここでは,1個しかない赤玉を固定すると, 残りは同じものを含む順列の問題になる。
(ウ) 「輪を作る」 とあるから,直ちにじゅず順列=円順列÷2 と計算してしまうと、こ
の問題ではミスになる。 すべて異なるものなら 「じゅず順列=円順列÷2」で解決す
るが,ここでは,同じものを含むからうまくいかない。 そこで, 次の2パターンに分
ける。
[A] 左右対称形の円順列は、裏返
すと自分自身になるから, 1個 と
数える。
[B] 左右非対称形の円順列は,裏
返すと同じになるものが2通りず
つあるから 2
[A]
[B]
裏返すと同じ」
(円順列全体) (対称形)
よって (対称形)+
2
基本事項
重複組合せ
異なる
解説
組合せ C
同じもの
重複を許
ようにな
例柿
の果物
物があ
[考え方
の中か
れぞれ
考える
買物
りの
りん
8!
(ア) -=280(通り)
4!3!
解答
三角
同じものを含む順列。
(イ) 赤玉を固定して考えると,白玉4個、黒玉3個の順列 1つのものを固定する。
等しいから
7!
4!3!
=35(通り)
(△)
7C4=7C3
(ウ)(イ)の35通りのうち、裏返して自分自身と一致するも左右対称形の円順列。
のは、次の [1]~[3] の3通り。
[1]
[2][3]
図のように、 赤玉を一番
上に固定して考えると
よい。
また、左右対称形の
赤玉と向かい合う位置に
あるものは黒玉であるこ
ともポイント。
残りの32通りの円順列1つ1つに対して, 裏返すと一残りの32通りは左右
致するものが他に必ず1つずつあるから,輪を作る方法
(全体)-(対称形)
(非対称形)
この
の果
これ
の場
よっ
重
一
は等かでそで
対称形 円順列。
は全部で
3+
35-3
2=3+16=19(通り)
● (対称形)+
④31に糸を通して輪を作る。
練習 同じ大きさの赤玉が2個, 青玉が2個, 白玉が2個, 黒玉が1個ある。これらの
=(対称形)+-
2
な

Answer 1

ヤギ

黒球1個、赤2個、青2個で考えます。
数珠数珠の総数を考える前に、ベースとなる円順列の総数がどうなっているかを考えると、図の通り
円順列の中で反転すると元と同じになる「左右対称形」と互いに鏡映し(ただし左右非対称形)「鏡映し形」の2つがありますが、それぞれ1個、2個ずつできます。(図参照)
そもそも円順列の作り方は、一つの球を固定して、残りの球の順列を考えるというものです。従って図のようにバラしてみると、左右対称形は1通り、鏡映し形は2通りあるのでこのようになります。
だから、数珠順列を求める時に÷2する必要があるのは左右非対称なものだけになります。

酢豚

青のなか、赤のなかで区別できないから左右対称形は1通りってことで合ってますか？？

ヤギ

合ってます！