例題 216 いろいろな文字での
[1] 次の関数を[]内の文字で微分せよ。
(1) V
=1/2μr
r²h [r]
3
(2)S = 3t2-2at+α² [a]
〔2〕 半径1cmの球があり,今後この球の半径は毎秒1cmの割合で大き
くなっていく。球の表面積Sの5秒後の変化率を求めよ。
思考プロセス
1つの文字に着目
〔1〕(1)
微分以外の変数は定数と考える。
◆ はもともと定数
+(x)=(x+2)
V = 137Th × r²
x
(2)
定数
...
〔2〕変化率 … 時刻 t についての変化の割合
(
dS
球の表面積Sの5秒後の変化率･･･t=における
→
dt
S= (tの式)が必要
Action» 多変数の関数の微分は, 微分する変数以外を定数とせよ
(G)(1+z)
は定数と考える。
解〔1〕 (1) Vをrの関数と考えて V
=
-Thr²
3
よって
dV
-
dr
(2) Sαの関数と考えて
3
3
1 Th(r) = 1h 2r=πhr
S = α-2ta+3t
$500
どの文字で微分したかを
示すために,V'ではなく
dV
入 dr
のように書く。
p) = (d+x+x)
tは定数と考える。
(3t)' = 0
半径の球の表面積を
とすると
S=4mr2
よって
dS
da
= (a²)' - 2t (a)' + (3t²)' = 2a-2t
〔2〕 t秒後の半径は (t+1)cm であるから
S = 4m (t + 1) = 4m (t2+2t+1)
dS
よって
=
=4m(2t+2)=8m (t+1 )
dt
t = 5 を代入すると
87.6=48π
ゆえに、表面積Sの5秒後の変化率は 48cm²/s
(2)
(
