練習問題 5
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鋭角三角形ABC がある. 頂点Aから辺BCに下ろした垂線の足をいと
し、さらにHから辺 AB AC に下ろした垂線の足をそれぞれP,Qとす
る.
(1) A,P,H,Qは同一円周上にあることを示せ.
(2) P, B, C, Qは同一円周上にあることを示せ.
精講 この問題では、「内接四角形の定理の逆」 を使ってみましょう。あ
る四角形の 「対角の和が180°」 であれば、その四角形は円に内接
することがわかります。 練習問題 4 (2)で見たように、 「対角の和が180°」であ
ることは「ある内角がその“対角の外角”と等しい」ことと同じであることも
頭に入れておくといいでしょう。
解答
(1) ∠APH+∠AQH=90°+90°=180°であるから,
内接四角形の定理の逆より、四角形APHQ は円
に内接する.つまり,A,P,H,Qは同一円周上
にある.
A
(2)A,P,H,Qは同一円周上にあるので,円周角
の定理よりも
B
HA
∠AQP=∠AHP ••••••①
また,∠AHB=90° ∠APH=90°より,
∠AHP=90°-∠BAH=∠ABH ......②
① ② より ∠AQP=∠PBC. 四角形 PBCQ
B'
H
は1つの頂点の内角がその 「対角の外角」 と等しいので,内接四角形の定
理の逆より,四角形 PBCQ は円に内接する.したがって,P, B, C, Qは
同一円周上にある.
