Question

宣(*'へ'*)

問這一題！

Answer 1

可知

因為它們不互質，一定有公因式，也就是共同根
設 f(x)=(x–p)(x–q)
g(x)=(x–p)(x–r)
它們有共同根 x=p，代回兩方程式可得
p²+ap+b=0
p²+bp+a=0
兩式相減得
p(a–b)+(b–a)=0
(a–b)(p–1)=0
因為 a≠b, 故共同根 p=1 是必然的。

那麼 a+b=–1。

我們可以看 f(x)=(x–1)(x–q)=x²+(–1–q)x+q
對照係數，這表示 a=–1–q，b=q
所求 a³+b³–3ab
=(–1–q)³+q³–3(–1–q)q
=–1–3q–3q²–q³+q³+3q+3q²
=–1。