Question

kenT

なぜSn-1=(n-1)^2になるんでしょうか。
n ^2のnがSnのnという説明は聞いたことがあるのですが、Sは複雑な数の和の集合なので、Sn-1がSnから末項を引いただけの和の集合であるなか、(n-1)と綺麗に表せられることに違和感があります。
証明をお願いしたいです。

例題 数列 { an}の初項から第n項までの和をSn
とする。 Sn = n2 であるとき、 一般項 an を
求めよ。
(Point) Sn-Su-i=anを用いて、一般項を求める。
Sh=72,$h-1=(n-1)²=h²-2n+1

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

Sₙ = n²なら
Sₙ₋₁ = (n-1)²ということに違和感があるとすると、
数列の初期にやっている
　aₙ = 3n-2のときa₁ = 3×1-2
とか、もっと前の
　f(x) = x²のときf(x-1) = (x-1)²
にも違和感があるということでしょうか
同じことですが…

一般の数列や関数では違和感がなく、
同じ数列Sₙでは違和感が出てくるのでしょうか

「Sは複雑な数の和」はよくわかりませんが、
「複雑」だとしても関係がありません
数列や関数の出所が複雑であろうがなかろうが、
代入は同じシステムです

kenT

ご回答ありがとうございます！
成り立つことはもちろん事実としてわかっていますが、これまでの数列や関数はイメージがつきやすいの対し、このSnは等差数列か等比数列かその他なのかわからない中シンプルに表せることの理由がイメージできなかったので、その仕組みの証明のようなものを質問しました

和

解決がまだされていない感じですか？

私には、「これまでの数列」とSₙに
どういう差があるのかがわかりません

f(x) = x²のときf(x-1) = (x-1)²がわかって
Sₙ = n²のときSₙ₋₁ = (n-1)²が
わからないということはないはずです
あなたは前者はわかると言い、
後者はわからないという認識のようです
これは解せません

ここまでで何かの勘違いに
気づいてもらえればよいのですが

逆に言えば、「これまでの数列」では、
イメージで解決できるとのことですね
具体的にどのようなイメージなのでしょうか
それがわかれば、
そのイメージがSₙに通用するはずです

kenT

下の写真みたいな感じで等差、等比数列が確定していればSnの具体的な式がわかりやすいのですが、今回の問題はどんな数列が分からないので、nの項数としての役割がわからないです。

和

(aₙ)がわかっていれば、
SₙからSₙ₋₁を出すのにイメージがつき、

今回は(aₙ)がわかっていないから、
SₙからSₙ₋₁を出すのがイメージつかないのですか？

(aₙ)が等差とか等比とかわかっていたところで、
　Sₙ=(nの式＊)のとき
　Sₙ₋₁=(＊でnをn-1に置き換えた式)
という事実がイメージつきやすくなるとは思えませんが

f(x) = x²はf(x)の出所もわからないのに、
f(x) = x²とわかってさえいれば
f(x-1) = (x-1)²は出せるのでしょう？

何が違うのか、さっぱりわかりません

再確認ですが、そもそも、最初の質問は
「なぜSₙ=n²からSₙ₋₁=(n-1)²になるのか」
だったはずですよね？

Sₙ-Sₙ₋₁ = aₙについての質問ではなく、
それ以前の質問ですよね？

たぶん、前提となる部分や、
今回の疑問が出揃っておらず、
話がお互い噛み合っていないと思います

和

当初の質問が文字通りなのであれば、
この画像のようで解決するはずなのです
（はじめから、この旨、回答しています）

解決しないとすれば、あなたの持つ疑問と
あなたの実際にした質問とに、乖離があります

kenT

質問の言語化が不十分でした
お答えしていただきありがとうございました