参考・概略です
●元の問題がないので、ご質問の意図がはっきりしませんが
解説に沿って解いてみます
たぶん、元の不等式が
2^(x＋2)＜5^(x－3)
【対数の性質：底＞1のとき、不等号の向きが変わらないより】
不等式の両辺は正であるので、2を底とする対数をとると
log_2[2^(x＋2)]＜log_2[5^(x－3)]
【対数の性質：log_a[ｍ^(n)]＝n・log‗a[m]より】
(x＋2)・log_2[2]＜(x－3)・log_2[5]
【対数の性質：log_a[a]＝1より】
(x＋2)・1＜(x－3)・log_2[5]
【左辺を整理して】
すなわち x＋2＜(x－3)・log_2[5]
【左辺・右辺を入れ替えて…不等号の向きが逆】
(x－3)・log_2[5]＞x＋2
【左辺を展開して】
x・log_2[5]ー3・log_2[5]＞x＋2
【xの項を左辺、他の項を右辺に移項】
x・log_2[5]－x＞3・log_2[5]＋2
【左辺をｘでくくる】
(log_2[5]ー1)x＞3・log_2[5]＋2
【両辺を(log_2[5]ー1)でわる】
(log_2[5]ー1)＞0であるから【不等号の向きは変わらず】
x＞{3・log_2[5]＋2}/{log_2[5]ー1}
という流れになっているようです。
