Question

月

数Ⅱの積分の問題です。左側の写真の参考の部分で右側の写真の(2)のaの条件をa＞0としたときと、(2)のaの条件が0＜a≦1であるときに場合分けがそれぞれ0＜a≦1、1＜a(aの条件：a＞0)とa≦x≦1、0≦x≦a(aの条件：0＜a≦1)になっているのですが、≦になる場合と＜になる場合の区別の仕方がわからないので教えてほしいです。

161
少し難しくなりますが、a>0 という条件に変えると
0<al の場合と、1<a の場合の2つに分けなければなり
ません。 演習問題 102 (2))
大学入試では、最終的にこの程度の場合分けはできるようにしてお
かなければなりません。 0<as1のときは、解答と同じなので、1<a
のときだけをかいておきます。
1 <a のとき
r²-aldr
=-(-a)dr 40525
--
(ー)
定積分に文字数が入っていると場合分けになることが多いので
すが、このとき、継ぎ目 (ここではq=1) で定積分は同じ値になるこ
とを知っておくと計算まちがいを防ぐことができます。

基礎問
160 第6章 微分法と積分法
102 絶対値記号のついた関数の定積分
次の定積分を計算せよ。
(1)
x²-1dr
(2) x²-a³ \dr (0<a≤1)
絶対値記号のついた関数は、そのままでは積分できません。次の公
精講
式 (*) を利用して絶対値記号をはずしますが、このとき
Sof(x)dx=f(x)dx+ff(x)dx
を利用して定積分を分けます。 あとは普通の定積分です。
f(x) (f(x)≧0 のとき)
.(*)
f(x)=_()() のとき)
(1)²-11-22-1
=
解答
積分の範囲は
(12)
-(2-1) (0≤x≤1)
0≦x2 だから、そ
S-1\d=f'(x-1)dr+(x-1) dr の範囲だけ考えれば
--2(1-1)+(8-2)=-1/+18=2
3 3
よい
x²-a² (a≤x≤1)
(0<a≤1)
-(2-a²) (0≤x≤a)
-adr
--(r³-a²)dx+(x²-a²)dr
=
gelaのグラフ
3/4
y--(x²-a²) a²

数ⅱ 積分法

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

いまいち疑問点がわかりません
というのも、質問文からして、aの範囲とxの範囲が
ごちゃごちゃになっていて、
理解が整理されていない様子だからです

よく比較して、整理しなおしてみてください

月

言われてみて、確かにaとxの範囲がぐちゃぐちゃになっていることに気づきました。だから、この問題は、0から1までの範囲で面積を求めないといけなくて、そのときに｜x²-a²｜の関数の形が切り替わるx=aがその範囲の中にあるとき(この場合、求めたい面積のxの範囲の中で、関数の形が変わるから、さらにa≦x≦1と0≦a≦1で場合分け)と範囲の中にないときで場合分けしているということはわかりました。

月

それで質問なんですが、和さんの記述部分の左下の絶対値を外すときの場合分けで、全て≦になっていますが、自分の中のイメージでは、＜と≦のどちらでもいいけど、今回は≦にしているという風に考えています。だから、右側のa＞0のときに場合分けの(ⅱ)の1 ＜aとなっているところが1≦aではなく、1＜aになっているので、なんでだろうと思いました。

和

> ＜と≦のどちらでもいいけど、今回は≦にしている

はい、どちらでもいいです
※ただ、
「どちらも<で、どちらにも=が抜けている」のはダメです
今回はそのテキストがどちらも≦なので、そうしました

> 右側のa＞0のときに
場合分けの(ⅱ)の1 ＜aとなっているところが
1≦aではなく、1＜aになっている

ここも、<でも≦でもどちらでもいいです
xの範囲とaの範囲とで、
=の重複のありなしを統一する必要はありません

月

理解できました。回答ありがとうございます。