Question

れもん

赤線部について質問です！
平均値の定理を使っているのは理解できるのですが、なぜ赤線部のような式の形になるのでしょうか？🙇🏻‍♀️

練習問題 11
185
(1) 方程式
1
つことを示せ.
COSI=Iは0<x<Tの範囲で少なくとも1つの解をも
1
(2)x>0において, 次の不等式が成り立つことを示せ .
1
x+1
-<log(x+1)-log.x<
I
精講
中間値の定理、平均値の定理を用いて解く問題です。 平均値の定理
は、使いどころがなかなかわかりにくいので、使いこなすには経験
が必要になります
解答
(1) F(x)=- COSx-x とおく.
=-
1
π
F(0)->0. F(2) = <0.
0
y= F(x)
22
✓
F(x)は連続関数なので, 中間値の定理より,
F(x) = 0 すなわち ・cosx=x は,
0<x<2で少なくとも1つの解をもつ。
(大
(2) f(x)=logx とおく.
どこかで
x軸と交わる
f(x) は x>0 において微分可能なので、平均値の定理より
f(x+1)-f(x)
(x+1)-x
-=f'(c)......①
となるcが,xc<x+1 (②) の範囲に少なくとも1つ存在する.
①より
log(x+1)-logx=-
また、②より
111
x+1
よって
1
x+1
くーく
C
X
f'(x)= より
<log(x+1)-log.x<
IC
IC

微分法

Answer 1

トムくま

f()の中身がなぜx+1やxかということでしょうか。

れもん

そういうことです🙇🏻‍♀️

トムくま

問題文がlog-logの形でかつ1/xがlogの微分の形なので平均値の定理が使えそうです。
となるとf(b)-f(a)/b-aの形を使うのであればfをlogにしてその中身であるx+1とxをf()の中身に突っ込むと形がそのまま出てきて使えそうですよね。