Question

題目死磕大師🪖

這題怎麼化簡呢？
詳解選項也沒看懂🙏🏻🙏🏻

8. 下列是有相關於 lim(in²+6n²-vn²+n)的運算,請選出正確的選項。
35.6
nx
(1)若 m=10100,則m+1.9999</m²+6m² <m+2.0001
109.(2)若m=101000,則/m²+m>m+1.00001
(3) lim (n³+6n2-(n+2))=0
818
(4) lim (√n²+n−(n+0.5))=0.5
N300
(5) lim (3√n³+6n² -√√n²+n)=1.5
(n³+b) nin
[n³+b²) + (in)

解析:(1)○:令a=(m+1.9999),b=m²+6m²,
c=(m+2.0001)
原不等式等價於a<b<c
b-a=0.0003m²-3x1.9999²m-1.99993>0
(因為m很大),
所以b>a,同法可得c>b
(2)X:由選項(1)同法可知
若m=101000,
則m+0.49999<√ m²+m<m+0.50001
(3)○:由選項(1)可知,只要m足夠大,則
m+1.99......9<3m²+6m² <m+2.0001,
由夾擠定理可知→00時, n²+6n²- →(n+2)
(4)X:在選項(2)的詳解中易知,只要m足夠大,則
m+0.499......9</m²+m<m+0.50001,
由夾擠定理可知n→00時, vn²+n→(n+0.5)
得lim (vn²+n(n+0.5))=0
N300
(5):由選項(1)至選項(4)知
lim(in²+6n²-vn²+n)=lim((n+2)-(n+0.5))
n300
n300
故選(1)(3)(5)。
=1.5

極限

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

qn

(1) 假設選項是對的

m + 1.9999 < ∛(m³+6m²) < m + 2.0001

同時三次方
m³ + 3(1.9999)m² + 3(1.9999)²m + (1.9999)³
< m³ + 6m
< m³ + 3(2.0001)m² + 3(2.0001)²m + (2.0001)³

同時減去 m³ 和 6m
-0.0003m² + 3(1.9999)²m + (1.9999)³
< 0
< 0.0003m² + 3(2.0001)²m + (2.0001)³

第二個小於顯然是對的
至於第一個小於，移項可得
0.0003m² > 3(1.9999)²m + (1.9999)³
代入 m = 10¹⁰⁰ 估算
左式 3×10¹⁹⁶，右式 略小於 6×10¹⁰⁰
所以第一個小於也成立
(只要把上面的檢驗過程，從下往上看，就是證明過程了)
所以 (1) 正確

(2) 假設選項是對的
兩邊平方
m² + m > m² + 2.00002m + (1.00001)²
0 > 1.00002m + (1.00001)²
右式應是正數，得到矛盾
所以 (2) 錯誤

另外也可以這樣計算
√(m²+m) < √(m²+m+¼) = m + ½ < m + 1.0001

(3)
由(1)可以感覺到
m + 2 - ε < ∛(m³+6m) < m + 2 + ε
(其中 ε 是一個極小的數)
可以猜測 ∛(n³+6n) - (n+2) → 0
這裡可以仿照(1)用夾擠定理
也可以如圖一檢驗 ∛(n³+6n) - (n+2) 的極限

(4)
同樣地
m + ½ - ε < √(m²+m) < m + ½ + ε
可以仿照上面用夾擠定理
也可以如圖二檢驗 √(n²+n) - (n+½) 的極限

(5)
將(3)和(4)兩極限相減
如圖三，可得題文極限的結果

題目死磕大師🪖

請問怎麼會想到假設(1)(2)是正確的呢？
以後看到看不懂的題目 可以套用此思路嗎？

題目死磕大師🪖

請問√(m²+m) < √(m²+m+¼) = m + ½ < m + 1.0001 怎麼來的呢？

題目死磕大師🪖

(5)
將(3)和(4)兩極限相減

請問怎麼會想到要將其相減呢？有線索嗎

qn

怎麼會想到假設(1)(2)是正確的：

如果正向的推導不容易想到
可以試試看反向的驗證

√(m²+m) < √(m²+m+¼) = m + ½ < m + 1.0001怎麼來的：

對根號裡的 m²+m 用配方法，補上常數項 ¼

怎麼會想到要將(3)(4)相減呢？有線索嗎：

題文要求 ∛(n³+6n) - √(n²+n) 的極限
而選項 (1)~(4) 就是在引導算出
∛(n³+6n) - (n+2) → 0
√(n²+n) - (n+½) → 0
並且我們知道，當兩個極限都存在時，他們加減乘的極限也會存在
恰好，把他們相減就可以得到題文要求的極限

題目死磕大師🪖

謝謝你⊹⁺⸜(ᐡ⸝ɞ̴̶̷ ·̮ ɞ̴̶̷⸝ᐡ)⸝⁺⊹
很詳細、清楚 😍😍