解答

need toが、〜をする必要がある、という意味で使えないわけではありません。
しかしこの文のthatはmoneyを示しています。
もしneed toとしてこの文で使ってしまうと、休暇に出かける必要があるのはお金だといった意味の分からない文となってしまいます。
そのためこの文ではneedのあとにthat(money)があると考えることで綺麗な文となります!

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