Question

星光

次の問題で思考プロセスが青いところから下が何がしたいのかよくわからないのですがどなたか解説お願いします🙇‍♂️

思考プロセス
an=
= (+)" cos —— nx
2
COS nπとする。無限級数Σam の和を求めよ。
<ReAction 無限級数の収束 発散は,まず部分和 Sm を求めよ
例題111)
規則性を見つける
YA
n=3m-2
αの
の部分は, n= 1, 2, 3, のとき
1
1
1
2
2
2' 2'
をくり返す。
|場合に分ける
={1-(1)}/{1-(1)}+//{1-(1)}
3m
=--{1-(/)}
n→∞ のとき, m→∞ となるから
2
lim S3 =
7
2
n=3m
7 ここで.
cos
1 より
10
1x
2
n=3m-
0≤
COS
lim
12-00
1 (1/2)
= 0 より, はさみうちの原理より
an → 0
一方, Ssm-1= Ssm-αsm, Ssm-2=Ssm-1-asm-1 であり,
In=3m
n=3m-1(mは正の整数) の場合に分けて考える。
In=3m-2
(ア) S3m = a1+a2+as+..+α3
=(a1+a+…+α3m-2)+(a2+α+... +α3-1)+(as+a+..+α3m)
n→8
→ すべて一致すれば
(イ) S3m-1= S3m-a3m=
n→∞
その値が24円
(ウ) S32S3-1-43m-1=|
n→∞
an
n=1
解 S= ak とおくと, n=3mm は正の整数)のとき
数列{cos 2 MTが
3
12 4
=
COS
(2/2)
COS2
1
2' 2
1
1,... の
(1/2)
くり返しになることに着
目して場合分けする。
cos
COS4
Sam-cos+() cos+(½)
8
COS
+(1/2)*cos 37 + (12)² cos 107
COS
COS
-π+
3
+・・・+
3m-
・1/11/2+(2)+....+(1/1) ***}
=-
+・・・+
(4)+
3m
COS2m²
//{(1)+(2)+....+(1/1)}
+・・・+
3m-1
各{}内は,すべて
公比
t
+{(12)+(2)+..+(1/2)}会 (12),数の等
3m
3
12/{1-(1/2)^} (1){1-(1)}
1
1
2
1-(1/2)
3
2
1
3
比数列の和である。
(1/2){1-(1)}
+
1
3
no のとき αsm 0, αsm-10 であるから
lim S3m-1=lim S3m-2 = lim Ssm
したがって
2
19L-00
lim S. = (+) cos nx =
COS
Point 無限級数の計算の順序
2
7
例題116のPoint で学習したように, 無限級数では, 勝手に項の順
けない。 そのため, 結果は同じであったとしても、 次のように解答を
4
COS-
acosx+(1) cosx+(2) cos
=
COS
n=1
2
3
3
COS
14
+(1/2) cos/1/12+(1/2) 1
十
={12+(1/2)+(2)+...}cos/3+{(1/2)+(1/2)+(-
1
2
(/)+
1
8
3
+(+) cos+(4) 00810+
COS
COS
3
COS
1 316 36 123 12
+
(
12
+{(1/2)+(1/2)+1
(-1/2)+
(2)
1
117 無限級数
1
nπ
sin²
2
の和を求めよ。

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

青線までわかれば、それ以降もわかりそうです
というか、青線以降のために青線までを考えています

級数を求めるので、第n部分和を求めます
同じ3項の繰り返しなので、
第n部分和もnを3で割った余りによって3通りに分かれます
それぞれの極限が一致すれば、それが求める極限です
一致しなければ、収束しません