Question

み

xについての二次方程式までは式を整理できたのですが、その後に「この二次方程式が実数解を持つための条件は〜」の発想にいくのが、次にこの問題を解くときに思い浮かべられる自信がありません。どういった考え方をしたら次解くときに実数解を持つ条件を思い浮かべられるようになりますか。
それともこの解法は暗記するものなのでしょうか。（正直🧭5個分なので暗記じゃなくて他の何かを応用する問題なのかなと勝手に思っていたのですが…）

重要
例題
1222 変数関数の最大・最小 (4)
203
00000
実数x,yが x2+y2=2 を満たすとき,2x+yのとりうる値の最大値と最小値を
| 求めよ。 また, そのときのx,yの値を求めよ。
[類 南山大 ] 基本 101
条件式は文字を減らす方針でいきたいが、条件式x2+y2=2から文
字を減らしても, 2x+yはx,yについての1次式であるからうま
くいかない。
そこで, 2x+y=t とおき,tのとりうる値の範囲を調べることで,
最大値と最小値を求める。
-> 2x+y=t を y=t-2x と変形し, x2+y2=2に代入してyを消
去するとx2+(t-2x)=2となり,xの2次方程式になる。
xは実数であるから,この方程式が実数解をもつ条件を利用する。
実数解をもつ⇔D≧0 の利用。
見方をかつ
える
3
3章
13
1 2次不等式
CHART
最大・最小=t とおいて、 実数解をもつ条件利用
2x+y=t とおくと
y=t-2x
......
(1)
解答
これを x2+y2=2に代入すると
x2+(t-2x)2=2
整理すると
COPIQE
このxについての2次方程式② が実数解をもつための
条件は、②の判別式をDとすると D≧0
5x2 -4tx+t2-2=0
(2)
ここで
4
D=(-2t)2-5(t2-2)=-(t2-10)
D≧0 から
t2-10≤0
>>
参考 実数a, b, x, y に
ついて,次の不等式が成り
立つ(コーシー・シュワル
ツの不等式)。
(ax+by)²≤(a²+b²)(x²+y²)
[等号成立は ay=bx]
この不等式に a=2,b=1
を代入することで解くこと
もできる。
028-
これを解いて -√10 ≤t≤√10
t=±√10 のとき, D=0 で, ② は重解 x=--
-4t 2t
=
2.5 5
を
もつ。 =±√10 のとき x=±
2/10
5
のとき, ② は
t=±√10
5x2+4√10x+8=0
よって
(√5x=2√2)
20
またはBA
①から y=±
√10
(複号同順)
ゆえに
5
2√2 2/10
x=±
210
よって
V
10
-=±
√5
5
x=
y=
のとき最大値10
5
5
①からy=
10
5
2/10
√10
x=-
y=-
のとき最小値√10
(複号同順)
また
5
5
としてもよい。

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

🍇こつぶ🐡

円と直線に交点または接点ができないと最大最小値は求められないから、①と円から連立した②二次方程式が実数解を持たないと求められないと分かるから思いつきます。

思いつかないなら、暗記というか、類似問題を解いて慣れて下さい🙇

み

なるほどです！確かにその通りですね！
ありがとうございます！！