復習用例題 7
曲線y=-x+3xの接線で, 点 (a, b) を通るものが3本存在するような点 (a, b) の
全体からなる領域を図示せよ.
【解答】
y=-x+3ェより
y'=-3x2+3
これより,曲線上の点(t+3t)における接線の方程式は,
y=(-3t2+3)(x-1)+3t
すなわち,
y=(-3t2+3)x+2t3
これが点 (a, b) を通るので,
b= (-3t2+3)+2t3
が成立する.
2t33at2+3a-b=0 ①
よって、tの方程式 ①が異なる3つの実数解をもつようなα, bの条件を調べればよい。
f(t)=2t3-3at2+3a-b
とおくと,
f'(t) =6t2-6at
=6t(t-a)
a
0
(a>0 のとき)
であるから,条件は,
a0 かつ f(0) f(a) <0 ......②
⇔ a≠0 かつ (3a-b) (-α+3a-b)<0
⇔ (b-3a)(b+a³-3a)<0
この不等式の表す領域が求める答であり,下図のようになる.
b
b=3a
-a
A
10
(境界は含まない)
b=-q+3a
a
(注)②は,
「極値をもち」かつ「(極大値) × (極小値) <0」
の意味であり,αと0の大小関係による場合分けは不要である.
y=f(f
(a< 0 のとき)
y=f(
めっちゃ見やすくてすぐ理解出来ました！
ありがとうございます助かりました！