ues.
454
基本 例題 30 群数列の応用
Onsens
0000
・の分数の数列について
1'2' 2
,
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3'3
11
4'4'5'・・・・
3'3'4'4'4
初項から第210項までの和を求めよ。
[類 東北学院大 ]
指針 分母が変わるところで区切りを入れて, 群数列として考える。
分母: 1|22|3, 3, 34, 4, 4,45,
1個 2個
3個
4個
....
第n群には、分母がnの分数がn個あることがわかる。
分子: 12,34,5,6-7,8,9,10|11
......
分子は,初項 1, 公差1の等差数列である。 すなわち, もとの数列の項数と分子
は等しい。
まず, 第210項は第何群の何番目の数であるかを調べる。
分母が等しいものを群として,次のように区切って考える。
12
5
34
解答
12' 23
,
3'3
9 10 11
8
67
4' 4
45
第1群から第n群までの項数は
1
1+2+3+....+n=1n(n+1)
2
第210項が第n群に含まれるとすると
1/2(n-1)n<210≦1/12m(n+1)
よって
(n-1)n<420≦n(n+1)
①
もとの数列の第項は
分子がんである。 また
第群は分母がんで、
個の数を含む。
■これから、第九群の
の数の分子は
11/n (n+1)
重要
例題
3
自然数 1, 2, 3.
(1) 左からmi
然数をmを
(2)150は左か
るか。
指針 群数列
解答
(1) 左
のm
(2) 15C
注目
並べられ
1|2,
(1) ①の
左から
番目の
(n-1)n は単調に増加し, 19・20=380, 20・21=420 である
から,①を満たす自然数nは n=20 S
また,第 210 項は分母が 20 である分数のうちで最後の数
である。 ここで,第n群に含まれるすべての数の和は
・20・21=210
1/171211n(n-1)+1}+(n-1)・1}÷7
= 1½n (n²+1) ÷ n =
n2+1
2
2
ゆえに, 求める和は
20k2+1
20
1/20・21・41
2*²+1=1 (2² + 21 ) = 1 (20-21- +20)
=1445
k=1
k=1
(2)150
122 <
は
第12
は第n 群の数の分
13群
子の和→ 等差数列
n{2a+ (n-1)] }]
また、
よっ
練習
③ 30
2の累乗を分母とする既約分数を、次のように並べた数列
1 1 3
1 3 5 7
1 3 5
151
2' 4' 4' 8' 8' 8' 8' 16' 16' 16' ' 16' 32'
について,第1項から第100項までの和を求めよ。
P.460 EX
置に
練習 自然数
④ 31 (1) 左
数を
(2)15
説明不足ですみませんでした🙇
Σ20 k=1のところのn＝20を書こうとしたんです
先ほど質問した後に自分でもう少し考えたらわかるようになりましたが解説ありがとうございました。
n^2+1／2は第n群のすべての数の和だから、求める和はΣを使って第1群から第20群までの和ってことですよね