Question

いな

[1]の場合分けについて質問です。
なぜcosx^2-cosx/x^2-xの極限を求めているのですか？
赤のところの式が成り立つのは理解出来たのですが、求めたい極限はcosx-cosx^2/x-x^2のものなので、
-(cosx^2-cosx/x^2-x)かなと思ったのですがどうなんでしょう.....結局0だから同じなんですか？

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重要 例題 1 平均値の定理を利用した極限
平均値の定理を利用して, 極限値 lim
x→0
COS x -COS x2
x-x2
を求めよ。
基本的
よって、
指針 f(x) =cosxと考えたとき,分子は差f(x)-f(x2)の形になっている。
ページの基本例題 90 同様,
差f(b)-f(a) には 平均値の定理の利用
2
の方針で進める。それには、平均値の定理により, xx2
COS x-COS x2
を微分係数の
[f'(c)] に表して極限値を求める。 なお、平均値の定理を適用する区間は
x+0のときで異なるから注意が必要である。
f(x) =cosx とすると, f(x) はすべての実数xについて微平均値の定理が適用
解答 分可能であり f'(x)=-sinx
[1] x < 0 のとき
(p)-(d)
る条件を述べている。
x<x2 であるから,区間[x, x2] において,平均値の定x<0<x2
gol=(x)
できる時間
x2-x=-sin01, _x<0₁<x²/ J=V[d
f(b)-f(a)
b-a f'(c)
a<c<b
参考事項
f(x)
limg(x)
x-a
が
00
理化などを学ん
かいなものもある
ロピタルの定
微分可能で, li
これは,平均値
(コーシーの平均
関数f(x), g(x
理を用いると
COS x2 COS x
を満たす実数
f(B)-f
(証明)
を満たす 01 が存在する。
g(B)-g
limx=0, limx2=0であるから
lim01=0
はさみうちの原理。
x110
x-0
x-0
このとき,F(x
F(c
COS x2 COS x
よって lim
x-0
x-x
x1-0
= lim (-sin 0₁) >>
が成り立つから
=-sin0=0
[2] x>0のとき, x → + 0 であるから, 0<x<1として
F'(c)=f'(c)-
k=
x → +0 であるから,
い
このとき,x2xであるから, 区間 [x2, x]において,
gol
平均値の定理を用いると
DI
x=0 の近くで考える。
証明
コーシー
[f(x), g(x)
(
はされ
COS x-COS2
x-x2
-sin02, x²<02<xld
を満たす 02 が存在する。
f(b)-f(a)=f(c),
b-a
(0)
x+0
limx2=0, lim x=0であるから lim02=0
x+0
よって
lim
XITO
COS x-COS x2
x-x2
x+0
= lim (-sin02)
x+0
=-sin0=0
となるcが有
Ca<c<b
よって
はさみうちの原理。
得られる場合は
li
ロピタルの
にも成り立つ
以上から
lim
COSx-COSx2=((*)の
x→0 x-x2
(*)左側極限と右側極限
が0で 致したから
① limf

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

いいえ、前に-はつきません

(cosx-cosx²) / (x-x²)…①
= (cosx²-cosx) / (x²-x)…②
ですから、
①と②どちらの極限を求めても同じです

(7-1)/(3-1) = (1-7)/(1-3)でしょう

いな

なるほど！すごく納得出来ました！
ありがとうございます🙇‍♀️