Question

so

（3）について質問です。
この不等式はどの問いの何を使えば出来上がるのか教えていただきたいです🙇‍♂️

重要 例題
30 漸化式と極限 (5) ・・・ はさみうちの原理
平
づ
<a<3を証明せよ。
26
(3) 数列{an} の極限値を求めよ。
00000
数列{an}が0 <a<3, an+1=1+1+αn (n=1, 2, 3, ......) を満たすとき
[類 神戸大]
/13-1/12 (3-0)を証明せよ。
/p.34 基本事項 3. 基本 21
指針
(1) すべての自然数nについての成立を示す
数学的帰納法の利用。
(2) (1) の結果, すなわち an >0, 3-ax>0であることを利用。
(3) 漸化式を変形して,一般項 αをnの式で表すのは難しい。 そこで,(2)で示した
不等式を利用し, はさみうちの原理を使って数列{3-αn の極限を求める。
はさみうちの原理 すべてのnについて pn San≦gn のとき
limplimgn=αならば
liman=a
710
818
2章 ③数列の極限
なお, p.54, 55 の補足事項も参照。
CHART 求めにくい極限 不等式利用ではさみうち
(1) 0<an<3
解答
① とする。
811
Famil
[1] n=1のとき, 与えられた条件から①は成り立つ。
[2] n=kのとき, ①が成り立つと仮定すると
0<a<3
=k+1のときを考えると,0<a<3であるから
ak+1=1+√1+ak >2> 0
+1+3=3
したがって
よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。
0<ak+1/30
数学的帰納法による。
<0<a<3
<<ak から√1+α > 1
<a<3から1+αk <2
[1], [2] から, すべての自然数nについて ① は成り立つ。
<
(2)3-αn+1=2-√1+an
3-an (3-an)
2+√1+an
(3)(1),(2) から, n≧2のとき
liml
n10
0<3-an()(3-as)
(1/2) (3-a1)=0であるか
3
lim(3-an)=0
liman=3
したがって
200
<3-a>0であり,an>0
から 2+√1+α >3
n≧2 のとき,(2)から
3-an< (3-an-1)
(12/2)(3
an-
<(1/2)(3-4)
モン
練習
α=2, n≧2のときα
an-1
1-12 を満たす数列{an) について
30

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

脚注にある通り、(2)を使っています
少し異なった書き方をしてみました

so

なるほどめっちゃわかりました！！
チャートの説明少し足りなさすぎませんか､､､笑

Answer 2

らい

(2)で証明した不等式そのものをn=1まで繰り返し適用します