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高中
已解決
どうして(1,0)を通らなければいけないのか分からないです
4 【選択問題】 数学Ⅰ 関数・ 方程式・不等式総合 (配点 50点) (問品】
α を実数の定数とする. 2つの2次関数
f(x) = x²-x, ===
g(x)=4x²-8ax+5a²-2a ==
について考える.
(1)2次不等式 f(x) ≧0を満たすxの範囲を求めよ。も
205J:
(2)(i) 放物線y=g(x) の頂点の座標をαを用いて表せ
(ii) すべての実数xに対して g(x)>0 となるようなαの値の範囲を求めよ.
(3)実数の集合 A
A={xlxはf(x) 0を満たす実数}, 0.1
と定める.
B={xlxはg(x) ≧0 を満たす実数}
(i) A∩B={1} となるようなαの値を求めよ.
(ii) A∩B=のとなるようなαの値の範囲を求めよ
(1)の結果より, 2次不等式 f(x) ≤0 を満たすxの範囲は,
よって, 集合A は,
· 0≤x≤1.
A={x[0≦x≦1, xは実数 } .
A= {xlxは f(x) <0 を満たす実数).
また, AnB= {1} となるのは, B≠ Ø のときであり、
g(x) ≧0 を満たす実数x が存在するときである.
B= {x[x は g(x)≦0 を満たす実数).
このとき, y=g(x) のグラフは次の図のようになる.
y=g(x)
放物線y=g(x) が上の図のようになる条件は,
(頂点のy座標) 0......
より、
a²-2a≤0.
a(a-2)≤0.
'
0≤a≤2.
① のとき, y=g(x) のグラフと軸の共有点のx座標
y=g(x) のグラフがx軸と
共有点をもつことから, 2次方
程式 g(x)=0 が実数解をもつ
条件, すなわち, 判別式をDと
して,
D≥O
と求めてもよい。
放物線y=g(x) の頂点の座
標は,
(a, a²-2a).
y=a²-2a
,g (bag) とおくと, g(x)≦0 を満たすxの範囲
a
12
よって, 集合Bは,
p≦x≦q;
B={xlsxsg, xは実数}.
このとき, A∩B= {1} となるのは, y=g(x) のグラフ
が次の図のようになるときである.
x=a
y= g(x)
x
p a
g(x)=4(x-α) + α-2a.
y=g(x)のグラフが上の図のようになる条件は,
[(ア) y=g(x)のグラフが点 (1,0) を通ること,
【(イ) 放物線y=g(x) の軸がx≧1にあること
がともに成り立つことである.
(ア)より, g(1) = 0 であるから,
4-8a5a²-2a=0.
(ア)において, y=g(x) のグ
ラフが点 (1,0) を通るとき,
y=g(x) のグラフは必ずx軸
と共有点をもつから,①は成り
立つ。
g(x)=4x2-8ax+5a²-2a.
5α²-10g+4=0.
解答
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