Mathematics
高中
已解決

左下の青チャートの問題の、(1)について質問があります。
もし右の写真のように放物線の開き具合が極端に大きかった場合、円と放物線の接し方として、チャートの解説の(1)の[1]のようなものは無いのかなと思うのですが、この時に重解を計算しようとするとどうなるのか、また、右の写真のような接し方をする放物線の開き具合の範囲はどうやって判断するのか気になっています。

あまり入試などで問われないのかもしれませんが、自分で計算しようとしても上手く出来なかったので、どなたか教えて頂ければ幸いです。

0000 重要 例題 104 放物線と円の共有点・接点 放物線 y=x2+α と円x+y2=9について,次のものを求めよ。 (1)この放物線と円が接するとき, 定数 αの値 (2)異なる4個の交点をもつような定数αの値の範囲 指針 放物線と円の共有点についても,これまで学習した方針 接点 重解 共有点 実数解 で考えればよい。 この問題では,xを消去して, yの2次方程式(y-a)+y'=9の 実数解,重解を考える。 放物線の頂点はy軸上にあることにも 注意。 (1) 放物線と円が接するとは,円と放物線が共通の接線をも つことである。この問題では, 右の図のように, 2点で接する 場合と1点で接する場合がある。 (2) 放物線を上下に動かし、 (1) の結果も利用して条件を満たす αの値の範囲を見極める。 い点で \接する -34p 定まる。り 2点で接する xを消去すると 次方程式が導かれる。 3y3... =3 (2)の したが (g) 放物 る27 よっ なお、 [1] ya [2] 3- [3] (1) y=x2+α から x2=y-a 解答 これをx2+y2=9に代入して の実 1 f の解り よって y2+y-a-9=0 ...... ① ここで,x'+y2=9から (y-a)+y2=9 x2=9-20 ゆえに [2] a=-3 [1] 放物線と円が2点 [1] で接する場合 2次方程式 ① は②の 範囲にある重解をもつ。 よって、 ①の判別式を みが 重をもてばよい の交点 Dとすると D=0 D=12-4・1・(-a-9) 37 4 =4a+37 であるから 4a+37=0 すなわち 37 a=- 4 13 の異なる方の実 あり (×) 2~ ①から ゆえに、L のグラフと M2 [2] 放物線と円が1点で接する場合 以上から、 求めるαの値は 図から,点 (0,3), (0, -3) で接する場合で a=±3 このとき、①の解は y=-- となり、②を満たす。 2次方程式 py2+gy+r=00 重解は y=-1 a1- 37 4 頂点の座標に注意 ±3 (2) 放物線と円が4個の共有点をもつのは,右の図から, 37 放物線の頂点 (0, α)が,点(0, -3)から点(0, -3) を結ぶ線分上(端点を除く)にあるときである。 したがって _37 <a<-3 4 -3- 2=gly がリニ (2)200 なる2つ (2)
図形と方程式

解答

✨ 最佳解答 ✨

> もし右の写真のように放物線の開き具合が極端に大きかった場合、
円と放物線の接し方として、チャートの解説の(1)の[1]のようなものは無いのかなと思うのですが、
この時に重解を計算しようとするとどうなるのか

この例題でわかるように、
円の下端で接する場合は、
重解をもつことと同値ではありません
あなたの図の状況でも同様で、
D=0としても下端での接点の座標は求められません

> また、右の写真のような接し方をする放物線の開き具合の範囲はどうやって判断するのか気になっています。

円の下端に放物線の頂点が重なるときなのだから
aの値はわかります
aの値をyの2次方程式①に代入して、
y=0と正の解をもつようなら例題のようになり、
y=0と負の解をもつようなら
あなたの図のような状況と判断できます

sari

丁寧で分かりやすい解説をありがとうございます!

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