Question

星光

次の問題で何故kが0より右側にあるのでしょうか？

230 点 (0, 1) 通り, 曲線 y=x-kx2 に接する直線がちょうど2本存在するとき, 実数k の値お
よび2本の接線の方程式を求めよ。
曲線y = x-kx 上の点をP(t, ピーkt) とおく。
y'=3x-2kx より, 点Pにおける接線の方程式は
y-(3 kt) = (3t2-2kt)(x-t)
これが点 (0, 1) を通るから
(大阪大)
1-(3
すなわち
=
kt) (3t2-2kt)(-t)
2t3-kt+1= 0
...
... ①
3次関数のグラフの接線は, 1本の接線に対して接点は必ず1点に定ま
るから, 求める条件は, tの方程式 ① が異なる2つの実数解をもつこと
である。
f(t) = 213-kt+1 とおくと
f'(t)=6t2-2kt=2t(3t-k)
k
3
ここで,f()=1,f(458)=
k³
+1 である
27
から, y=f(t) のグラフは右の図のようにな
y=f(t)
y
ればよい。
0
k
3
y=f(t) のグラフがt軸
と異なる2点で共有点を
もつようにすればよい。

よって
k
ka
>0 かつ
+1=0
3
27
すなわち k=3
これを 1 に代入すると
263-3 +1= 0
(t-1)^(2t+1)=0
1
よって t=
1
2
したがって, 求める接線の方程式は
15
y = -x+1,
4
y=-3x+1
k=0 のときは ① より
解は1つ。
k
<0 とすると, 下の図
3
のようになり, t軸と2
点で交わらない。
3
y
y=f(t)
0

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

詳しくは模範解答の通りで、必然的にk>0になるのですが、
どこがわからないか具体的にきいてください

一つの理由は図のようになりますが、
これを答案に書く必要はありません

星光

理解できました！有り難う御座います！