Question

淳華

解説お願いします。
「場合の数と漸化式」の問題です。

(1)の解説がよく理解できません。
どうして、1つの長方形または正方形を並べると並べ方が何通りか分かるのでしょうか？

教えてくださると嬉しいです。
よろしくお願いします。

例題
316 場合の数と漸化式 【
2辺の長さが1と2の長方形と1辺の長さが2の正方形の2種類のタイル
がある。 n を自然数とし, 縦2, 横nの長方形の部屋をこれらのタイルで
過不足なく敷き詰めるときの並べ方の総数を An で表す。
(1)n≧3のとき, A を A-1, A-2 を用いて表せ。
(2) Annを用いて表せ。
具体的に考える
(東京大)
思考プロセス
最初に
をおくと
An
最初に
をおくと2
An-1
-n-2-oils.
An-2
◆ 斜線部分
も
を敷き詰める
-2--
n-2-
最初に
をおくと。
2
An-2
Action n を含んだ場合の数は,最初の試行で場合に分けよ
(1) (ア) 左端に長辺を縦にした長方形を並べるとき
残り縦2, 横(n-1) の部分の並べ方は
(イ) 左端に長辺を横にした長方形を並べるとき
残り縦2, 横 (n-2) の部分の並べ方は
A通り
1
2通り
(ウ)左端に正方形を並べるとき
残り縦2,横(-2) の部分の並べ方は2通り
--2-
-n-2-
BU
307
(ア)~(ウ)より An=An-1+2An-2
①
2 ①を変形すると
An+An-1=2(An-1+An-2)
2.
n-2--
特性方程式
An-2An-1=-(An-1-2 An-2)
③
②より、数列{An+1 + An} は初項 A2+ A1 = 4,
公比2の等比数列であるから
An+1+An=4.2"-1 = 2n+1
④
③より、数列{An+1-2An} は初項 A2-2A1=1,
公比-1の等比数列であるから
④ ⑤
An+1-2An=1(−1)"-1=(-1)"-1
An
==
3An=2+1-(-1)"-18
3
{2n+1-(-1)-1}
|x2-x-2=0より
x=-1,2
より A1 = 1
080
よりA2 = 3
⑤

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

「1つの長方形または正方形を並べると
並べ方が何通りか分かる」
というか、

「1つの長方形または正方形を並べると、
より小さい部屋の並べ方との『関係』が分かる」
んです

どの並べ方も、左端の埋め方パターンは
大別して3パターンです
そのそれぞれが何通りかを足せば、
大元の並べ方になります

「それぞれが何通りか」は、
まだ敷き詰めていない部分の埋め方
ということになりますね

淳華

理解出来ました！
わかりやすい説明ありがとうございます！