Mathematics
高中
已解決

ベクトルの問題が分かりません。よろしくお願いします。

△ABCにおいてABAC=α. 3.AC=αBC・BA=β,CA・CB=yとおく。 (1)AB, BC, CAの長さをそれぞれα,β,yを用いて表せ。 (2)aβ + By + ya > 0を示せ。

解答

✨ 最佳解答 ✨

(1)|AB|、|BC|、|CA| ?
(ベクトル表記は省略します)
AB・AC=α、BC・BA=β、CA・CB=γ
AC=-CA=(AB+BC)なので
 AB・(AB+BC)=α、BC・AB=β、-(AB+BC)・CB=γ
 AB²+AB・BC=α、BC・AB=β、-AB・CB+BC²=γ
(AB・BC=-β、AB・CB=βより[ベクトルの向きを修正])
 AB²-β=α、BC・AB=-β、-β+BC²=γ
 AB²=β+α、BC・AB=-β、BC²=β+γ
 |AB|=√(β+α)、BC・AB=-β、|BC|=√(β+γ)

 BC・BA=|BC||AB|cosB=β :内積の公式
 CA²=AB²+BC²-2|AB||BC|cosB :余弦定理
 CA²=(β+α)+(β+γ)-2β
 |CA|=√(α+γ)

|AB|=√(β+α)、|BC|=√(β+γ)、|CA|=√(α+γ)

(2)αβ+βγ+γα>0?:わかりやすい解答が思いつきませんでした🙇
α=AC・AC=|AB||AC|cosA=(|AB|²+|AC|²-|BA|²)/2
β=BC・BA=|BC||BA|cosB=(|BC|²+|BA|²-|CA|²)/2
γ=CA・CB=|CA||CB|cosC=(|CA|²+|CB|²-|AB|²)/2
・・・(画像添付)

GDO

グラフが4次関数(y軸対象)の形になっていませんでした
すみません(交点や結果などには問題ないです)

GDO

もう少し整理するといいみたいです。
添付画像の続き
(|AB|=c,|BC|=a,|CA|=b)
y=1/4{2a²b²+2b²c²+2c²a²-a⁴-b⁴-c⁴}
 =b²c²-1/4{a²-(b²+c²)}²
 =b²c²[1-{(b²+c²-a²)/(2bc)}²]
 =b²c²(1-cos²A)
 =b²c²sin²A
 >0 (0<b,0<c,0<A<180°)

ありがとうございます😊

GDO

三角形を2つのベクトルで表せば、シンプルに計算できました
ベクトル:AB=x,AC=y,BC=z=y-x
α=x・y、β=-x・(y-x)、γ=-y・(x-y)
αβ+βγ+γα
 =(x・y)(-x・y+x²)+(-x・y+x²)(-y・x+y²)+(-y・x+y²)(x・y)
 =-(x・y)²+(x・y)x²+(x・y)²-(x²+y²)・(x・y)+x²y²-(x・y)²+y²(x・y)
 =x²y²-(x・y)²
 =|x|²|y|²-(|x||y|cosA)²
 =|x|²|y|²(1-cos²A)
 =|x|²|y|²sin²A
 >0 (0<b,0<c,0<A<180°)

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