Question

なほ

四角で囲ってある変形のところが分かりません…どうしてこのように変形できるのか教えてほしいです…！

例題 42
隣接3項間の漸化式
次の条件によって定まる数列{a}の一般項を求めよ。
a=1, a2=1, an+2=an+1+6an (n=1, 2, 3, ......)
考え方
{an+1-αan}が公比βの等比数列となるα βを求める
an+2-αan+1=β(an+1-αam) を変形すると
an+2=(a+β)an+1-aBan
ポイント
→ a+β=1, αβ = -6 を満たす2つの数α, βを見つければ, 漸化式は
第15章 数列
★★★★
[類 和歌山県立医大 ]
(1)
目回
+2+1=β(a,+1-aa) と変形でき, {a,+1-2a} は公比βの等比数列となる。
α,βは2次方程式 xx6=0 の2つの解であり,それは-2と3である。
(参考)一般に,漸化式 ataq=0について、2次方程式px+g=0 の2つの解がα, Bで
あるとき, 漸化式は an+2-Qan+1=β(a,+i-aa) と変形できる。
① 漸化式を変形
→
{an+1 +2a}が等比数列
→
解答
an+2=an+1+6a を変形すると
an+2+2an+1=3 (an+1+2an)
an+2-3an+1=-2(an+1-3an)
① から, 数列{an+1+2am}は初項a2+2a,=1+2・1=3, 公比3の等比数列で
an+1 +2an=3・3"-1=3"
......
② から, 数列 {an+1-3a}は初項 α2-3a=1-3・1=-2,公比-2の等比数列
で
an+1-3an=(-2)・(-2)"''=(-2)"
{an+1-3a} が等比数列
2式から +1 を消去
③ ④ から
5an=3"-(-2)"
3"-(-2)"
したがって an=
答
④
b

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

🍇こつぶ🐡

二次方程式に置き換え、2解の漸化式①②を作ります。
作り方はすぐ上の考え方に書いてます🙇

なほ

αとβの値は計算して求めるのではなく、当てはまるのを探すって感じですか？

🍇こつぶ🐡

yes。
その方が早い🙇

なほ

理解力不足で質問ばかりになってしまってすみません💦ご丁寧にありがとうございました！

なほ

一応読みました…！学校で解けなくて、家で落ち着いて考えてみようと思ったんですけどなかなか理解できず…理解力と解説を読む忍耐力が足りなかったなと思います…反省してこれから精進していきたいと思います🙇
お時間を割かせてしまい申し訳ありませんでした