Question

どん

ベクトルの問題で、写真のような断り書き
(4点O.A.B.Cは同じ平面上にないから〜の部分です)
がありますが、なぜ同じ平面上にないのに係数が同じだと言えるんですか？解説お願いします🙇🏻‍♀️

686
本例
例題 69 直線と平面の交点の位置ベクトル (1)
する点をQとして,辺OC を3:1に内分する点をR とする。 更に三角形ABC
四面体 OABC を考える。 辺OAの中点をPとする。 また辺OBを2:1に内分
の重心をGとする。
3点P Q R を通る平面と直線OG の交点をKとするとき, OK を OA, OB
OC を用いて表せ。
[類 鹿児島大 ]
基本67
K 「3点P, Q, R を通る平面上」 にも 「直線OG上」 にもあると考え, OK を OA,
OB OC を用いて, 2通りに表して係数比較をする。
その際,
点Kが3点P Q R を通る平面上にある
⇔OK=sOP+t0Q+u0R,s+t+u=1となる実数s, t, uがある
を利用する。
点Kは3点P Q R を通る平面上にあるから, 実数 s, t, 指針_
解答を用いて
★★ の方針。
OK = sOP+tOQ+uOR, S+t+u=1
同じ平面上にあるための
条件。このの形と前
ページの [1] の形
検討
と表される。
ここで,OP=120A, OQ=2/23 OE OR OC であるか
=
PK = sPQ+tPR
のどちらも使いこなせる
ようにしておきたい。
S
ら
OKOA+OB+uOC
2
2
3
3
......
①
0
4
また,点Kは直線 OG 上にあるから, OK =kOG
(kは実数)と表される。面
A
よって
OK-k
OR=k(OA+OB+OC)
3
k
3
=OA+OB+OC
(2
4点 0, A, B, Cは同じ平面上にないから、 ① ② より
3 4 3
S
k
2
k
3
k
t=
u=
2 3 3
2
ゆえに
S= -k.t=
u=
k
'
これらをs+t+u=1に代入して
k
3
12/1 k + 1/2 + 1½ ½ k=1
B
「空間の位置ベクトルを2
通りに表して係数比較を
するとこの断り書き
は重要である。 p.687 も
参照。
よって k=20
18
29
これを②に代入して
OK=
6
6
29
29
29
OA+OB+OC an
値を①に代入してもよ
s, t, uの値を求め、その
いが,②に代入する方が
計算がらく。
別解
と

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

> なぜ同じ平面上にないのに係数が同じだと言えるんですか？

という言い方からして、根本的に認識が違うような気がします

①②は同じOKのことだから、式の見た目は違うが一致します
だから係数を比較します
この際、OKを表すのに使われる3つのベクトルOA,OB,OCが
四面体をつくることが比較するための条件です
（言い換えるとO,A,B,Cが同じ平面上にないこと）

で、その理由はそのページより前の基本を載せたページや、
脚注にある通りp.687に詳しく書いてあるはずです

どん

同じ空間ベクトルを表す2通りの式がたてられるという時点で
→a,→b,→cが一次独立である、という認識で大丈夫でしょうか？脚注のページ見てもあまりしっくりこなくて…何度もすみません🙇🏻‍♀️

和

> 同じ空間ベクトルを表す2通りの式がたてられるという時点で
→a,→b,→cが一次独立である

違います
その2つは無関係です

事実としてOKがOA,OB,OCを用いて2通りに表されています
ここで、もしもOA,OB,OCが1次独立であれば、
2つの式を係数比較することができるということです

どん

なるほど、２通りに表せる→一次独立ということではなく一時独立である→２つの式を係数比較できるということですか！
逆に、一次独立でなければ係数比較はできなくて、
だから係数比較を使う時はO.A.B.Cが同じ平面上にないという断り書きが必要ってことですよね？
空間の図形になってる時点で一次独立のはずなので解答とかにほぼ例外なくこの断り書きがあるんですね！

和

その通りです

どん

よく分かりました！ありがとうございました。