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基本(例題 115 常に成り立つ不等式(絶対不等式)
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(1) すべての実数x に対して, 2次不等式x2+(k+3)x-k>0が成り立つよう
な定数kの値の範囲を求めよ。
(2)任意の実数xに対して、不等式 ax²-2√3x+a+2=0が成り立つような定
数αの値の範囲を求めよ。
p.187 基本事項
指針左辺をf(x)としたときの,y=f(x) のグラフと関連付けて考えるとよい。
(1) f(x)=x2+(k+3)x-k とすると,
すべての実数xに対してf(x)>0が成り立つのは
y=f(x) のグラフが常にx軸より上側 (y>0の部分)に
あるときである。
y=f(x) のグラフは下に凸の放物線であるから, グラフが
常にx軸より上側にあるための条件は, x軸と共有点をも
たないことである。 よって, f(x) =0の判別式をDとする
と, D<0 が条件となる。
y=f(x)
f(x)の値が常に正
X
D<0はんについての不等式になるから,それを解いてkの値の範囲を求める。
(2)(1)
と同様に解くことができるが,単に 「不等式」 とあるから, α=0 の場合 (2次
不等式でない場合) と α≠0の場合に分けて考える。
40の場合αの符号によって,グラフが下に凸か上に凸かが変わるからにつ
いての条件も必要となる。また,不等式の左辺の値は0になってもよいから、グラ
フがx軸に接する場合も条件を満たすことに注意する。
CHART 不等式が常に成り立つ条件 グラフと関連付けて考える
(1) f(x)=x2+(k+3)x-kとすると, y=f(x) のグラフ f(x)のx2の係数は正
あるから、下に凸。
解答
は下に凸の放物線である。
よって すべての実数xに対してf(x)>0が成り立つた 指針......
めの条件は,y=f(x) のグラフが常にx軸より上側にあ
る,すなわち,y=f(x) のグラフが共有点をもた
ないことで
不等式が成
の方針
相
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