木の
ななめ
みたいな
三角比の値の範囲
第1節 三角比 145
00-081
まる。よって、今後は半径がりの半円で考える。
三角比の値は,いずれも半円の半径に関係なく, 0だけによって定
第4章
図形と計量
(90°
たおす
つぶれた
→ななめが1
右の図のように, 原点Oを中心とする
半径1の半円をかき,この半円とx軸の
正の部分の交点をAとする。
0° <90°
y4
半円周上に,点P(x, y) を
mFL
こっちからみれば
たて
P(x,y)
T(1, m)
AOP=0 (0°≦≦180°)
よここななめ
となるようにとると, 0 の三角比は,点P
の座標を用いて,次の式で表される。
1
y
-1
0
x
1
x
符号は,
0で
われない
sin0=y, cos0=x, tang=卫たて
ななめ
ななめ
よこ
90°0≦180°
から!
ここで0≦x≦1,-1≦x≦1であるから,
0°0≦180°の sind, cose の値について
次のことが成り立つ。
y
1
P(x,y) y
[H
A
0≦sin0≦1,-cos
-1x
0
15
11
x
また, 0≠90°のとき, 点A(1,0)を通
りx軸に垂直な直線と, 直線 OP の交点
をT(1, m) とすると
mp.
T(1, m)
止めて
tan0=y= m
=m
x 1
80°
である。0°≧≦180°,0≠90°の範囲で0を動かすと, は実数全体を
動く。 したがって, tan 0 はすべての実数値をとる。
0 が 0°から 180°まで変わるとき, sin, cos 0, tan の値は, それぞ
深める
ように変わるか説明してみよう。
日が大きくなるとtan大きくなる(90°除)
144 第4章| 図形と計量
142ページの三角比の定義において,
日が 0° 90° 180° のとき, 点Pの座標は,
それぞれ
(r, 0), (0, r), (-r, 0)
たて
ななめ
木の
背表示
y+
みたいな
三角
三角比
まる。 よ
右の図
ケロリ
5 となる。
たおれた
180°
したおす
奥(-1, 0)
0
x
ホンデ
よって, 0%, 90° 180° の三角比の値は,
たてと同じ
次のようになる。 ななり長
① sin0°=0,
半径1の
5
→ つぶれた
正の部分
cos0°=1,
半円周
tan0°=0
↑こっちからみれば
sin90°=1,
ななめ
cOS 90°=0,
sin180°=0. cos 180°:
tan 90° の値は定義されない 20
tan180°=0
よここななめ
となるよ
また, 9が鋭角の場合, 鈍角の場合の sin0, cose, tanの符号は,
それぞれ図のようになる。
の座標を
10
↓たち
0
0で
たて sin
ななめ
sinの符号
COS の符号
われない
ここ
YA
鈍角
鋭角
tan の符号
YA
から!
鈍角 鋭角
鈍角
鋭角
+ +
0°≤0≤
次のこ.
たて
O
Since fation (10)
ななめしの
x
0|
とき
ななめ
一が
たて
15
また
高士がみよう。
いろいろな角の三角比の値について、次の
絡むとよう
りx軸
singt
*とめて
をT(1
15
COSθよこ
日
0°
30°
45° 60 90° 120° 135°
√2√3sin
150°
0
1
180°
20
2
である
2 2
1
2
COS O
1
13
1/2
√22 2
0
動く。
よこ
どんどん
tan
0
小さくなってる
√222
1
0
I
2
区
+6
-1
√3
√3-1
0
深める
第4章
図形と計量
15の定義から, 次の等式が成り立つ。
142 第4章 | 図形と計量
11/5.11/6
3
三角比の拡張
ここまでは、直角三角形を用いて鋭角の三角比を考えたが, 座標を用いたミ
角比の定義によって、三角比を 0°以上 180°以下の角にまで拡張しよう。
そして, 三角比の相互関係が, 三角比を拡張した場合にも成り立つことを
5
確認しよう。
また、座標平面上の直線の傾きと正接の関係についても調べよう。
A 座標を用いた三角比の定義
10
座標平面上に, 右の図のように, 原点O
を中心とする半径rの半円をかき この
半円とx軸の正の部分の交点をAとする。
半円周上に
y
yEr
P(x,y)
∠AOP=0
0
となる点P(x, y) をとると,0が鋭角すな
わち 0°<8<90° のときは, 鋭角の三角比
0が鈍角, すなわち 90° < 0 <180°のと
きは、点Pは第2象限にあり
であるから,
なる。
x < 0, y>0
三角比の符号は次のように
sin0>0, cos0 < 0, tan0 <0
座標を用いた三角比の定義によって
角の三角比の値を求めてみよう。
120°の三角比の値
※半径2の半円において、0120
のとき、右の図の点Pの座標
P(x,y)
yi
第三角比 143
5
図形と計量
(1,3)となる。
P
よって
√3
sin120°=
2
120°
-2
1
10
2x
COS 120°=
-1
1
==
sino=2 coso=
=1, tano=-
y
r'
x
←135ページの定義と同じ式。
2
√√3
√3
60°
20
ここで, 0°≦0≦180° である角0に対し
ても, 半円の半径rと半円周上の点Pの
座標(x,y)を用いて,上の3つと同じ式
で, 三角比を定義する。
tan 120°
y
r
P(x,y)
Ly
12
(1)135°
練習 下の図を用いて, 次の角の正弦, 余弦、正接の値を求めよ。
+
(2)150°
ya
0
y
sin0=
10=22 cos0=4tan0=2
-rx
0
x
C
21
+14
√2
ink
これらの値は,いずれも半円の半径に関係なく, 0だけによって定
まる。ただし, 6=90°のときはx=0であるから, tanは定義されない。
135°
150°
√2
したがって, tan 0 と書くときは, 0≠90° であるものとする。
ありがとうございます🙏