Question

YuNa

109と110(2)の解説で書かれているユークリッドの互除法についてです。
それぞれ黄色マーカーの部分は赤マーカーをどのように見るとそのように書けるのかが分かりません。

109 nを自然数とする。 2n²+n+4 とn+2の最大公約数として考えられる数
をすべて答えよ。
[15 札幌大〕
110 自然数 m, nに対してx=8m+n,y=5m+2n とおく。x,yの最大公
約数をdとする。
(1)m, nが互いに素ならば,d=1 または d=11 であることを示せ。
(2)m=2のとき, d=11 となる最小の自然数nを求めよ。
[18 学習院大 ]

109 2 数A,Bの最大公約数を (A, B) で表すと,
2n2+n+4=(n+2)(2n-3)+
10
であるから, ユークリッドの互除法により
(2n2+n+4,n+2)=(n+2,10)
n+2>2より, n+2と10の最大公約数として
考えられる数は 1, 2, 5, 10

(2)m=2のとき
x=16+n, y=10+2n
d=11より, 16+nと10+2n の最大公約数が
11 となるような最小のを求めればよい。
2数 A, B の最大公約数を (A, B) で表すと,
10+2n= (16+n) 2-22 であるから, ユーク
リッドの互除法により
(10+2n, 16+n)=(16+n, 22)
16+n>16 より 16+ nと22の最大公約数が11
となるような最小の自然数は16+n=33を満
たす。
したがって n=17

高校数学 数学 数a ユークリッドの互除法 整数問題 整数 数字 自然数

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

ユークリッドの互除法とは、
　AをBで割ったときの余りがRであるとき、
　AとBの最大公約数は、
　BとRの最大公約数に一致する
というものです

赤マーカーはAをBで割ったときの余りR
を（実際に割り算するなどして）調べた結果を表すものであり、
黄色マーカーは「AとBの最大公約数」を
「BとRの最大公約数」に言い換えたものです

YuNa

ありがとうございます！！