65
66
和
k=1
√k+2+√√k+3
次の数列の初項から第n項までの和を求めよ。
① 1,
1
142 1+2+3.
1
1+2' 1+2+3' 1+2+3+4’
7
9
1~n-1
=
項数nに
4STEP数学B
x²+x²+.+x^-1
n-1
-(3n-2)x"
198-
辺々引くと
(1-x)S=1+3(x+x2+.
67
よって
(1-x)S=1+
3x(1--1
(3n-2)xn
1-x
すなわち
-1-1=2D
(1-x)S=
1 + 2x - (3n+1)x"+(3n-2x+1
1-x as+a1=28
したがって
6
A
S=
1+2x-(3n+1)x"+(3n-2)xn+1
(1-x)2
68 (1) 第群は2"-1個の自然数を含むから,第
n群の最初の自然数は, n≧2のとき
(1) n2 が初めて現れるのは、第n群の末
第1群から第n群までの項数は
1+2+3+…+n=1mm(n+1)
よって,n2 が初めて現れるのは
第 12/2
n(n+1)項
(2)第1群から第n群までの項数は
1
on(n+1) であるから,第100項が第
るとすると
1-2
(n−1)n<100≤½n(n+1)
(n-1)n <200≦n(n+1)
2"-1-1
(1+2+ ...... +2"-2)+1=-
+1
13.14182,14・15=210 であるから
よって
す自然数nは
n=14
第1群から第13群までの項数は
2-1
=2"-1
・13・14=91
2
これはn=1のときも成り立つ。
(S
ゆえに、第100項は第14群の100-
したがって,第n群の最初の自然数は 2"-1
の数である。
よって、 第100項は
92=81
2"-1≤500<2"
①
(2)500が第n群にあるとすると
2°=256,2°=512であるから, ①を満たす自然
数nは n=9
500 第9群の第項であるとすると
29-1+(m-1)=500から m=245
よって
第9群の第245 項
(3) 第n群にある自然数の列は初項が2"-1, 末項
が2"-1, 項数が2"-1 の等差数列である。
よって, その和は
.2"-1(2"-1+2"-1)=2"-2(32"-1-1)
69
■指針
(3) 第群にあるすべての自然数の
2
12² + 2 ² + ... + n² =—=—=—-— n ( n
n(n+1
したがって, 第13群までにあるす
の和は
131
13
IM
+k(k+1)(2k+)
・13・14
因数分
(20·13-14)² +3.13
K=1
62
K={{n+1}
=11.12.13-14(13-14+27+1)
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