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例題 147 空間図形の計量
1辺の長さが2である正四面体 ABCD において,辺
BCの中点を M, ∠AMD = 0 とするとき,次の値
を求めよ。
(1) cose
(2) 正四面体 ABCDの体積V
(3) 正四面体 ABCD に外接する球の半径R
(4)正四面体 ABCD に内接する球の半径r
B
M
A
次元を下げる
底面
高さ
(2)
V =
X ABCD XAH
Hはどの位置にあるか?
(3) 立体のまま考えるのは難しい。
01
外接球の中心Oが含まれる三角形を抜き出して考える。
Action> 空間図形は, 対称面の切り口を考えよ
M
H
思考プロセス
(4)
四面体の
内接球の
半径の求め方
類推
三角形の
内接円の
半径の求め方
(3)
△ABC は, 1辺の長さが2の正三角形であるから
AM = √3
(105
ABCD についても同様に考えると
DM=√√3
△AMD において, 余弦定理により
col.
cose
(3)+(√3-2°
2.3.3
JAAS
2
#
C
M
001
1 M
H
D
TUR
AM²+DM²-AD
cos0=
3
002
2.AM-DM
(2)AB=AC=AD=2より頂点Aから底面 BCDに下△ABH=△ACH = AA
より BH = CH = DH
ろした垂線をAH とすると,点Hは ABCD の外心である。よっては正三角
よって, 点Hは線分 MD 上にあり
したがって
AH=AMsine
AHLMD
ここで,0°0<180°より, sind>0であるから
1-(1)-2/2
sin=√1-cos20
2√2
=
=
3
ゆえに,AH = √3. 2√2
2√√6
であるから
3
V=
・ABCD ・ AH
8
BCD の外心であるから、
H は BC の垂直二等分線
上にある。
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確かに言われてみればその通りでした！
ありがとうございます😊