Question

moon

三枚目のシグマの計算が分かりません！あと、この3つの問題全てなんですが、格子点の数を求める際、+1しているのが何故かが分かりません！誰か解説してくださると嬉しいです。宜しくお願いいたします🙇

B1-42
(60)
第1章 数
列
B1.28 格子点の個数
****
自然とするとき、次の条件を満たす整数の組 (x, y) はいくつあ
(1) ps/y/≤2p, ps/x/≤2p
か、
(2)x+2y≦2p.y≧0x20
(3) 0≤ y ≤500, 0≤x≤√√
考え方 座標がすべて整数である点を梢子点という。
(1)(2) 具体的な数を入れて考えてみるとよい。
たとえば、(2)では,
0
(学習院大・改
(2,3)
2 x
34p=1
p=2
p=3
30
2
3
10
x O
4
O
0
となり,p=1のとき, 1+3=4
p=2 のとき, 1+3+5=9
p=3 のとき, 1+3+5+7=16
p=4 のとき, 1+3+5+7+9=25
となっている。
p=4
一般に, 直線 y=k (k=p.p-1, ......,
0) 上には, それぞれ 1, 3, 5,
(2p+1) 個の格子点が並んでいる。
(3) 0≤x≤√y. (0≤)x²≤y
0≤y≤500, 0≤x≤ y ≤√500=10/5=22.4
より 右の図のようになる。
y
1500
Jx
ここでは,与えられた条件を
変形し
x²≤y≤500
0
x=k上にある格子点の個数を考える.
(2)
y
YA
2p
p+1
p
-2p-p O
p: 2px
p+1
Fo
解答
(1) 領域は、右の図のように、
1辺の長さの正方形4つ分
である。
x=p上にある格子点の個
数は,
y=p,p+1,........ 2p,
KAEROP-p-1,
-2p
の{2p-(p-1)}×2=2(p+1) (個)
同様にして,
x=p.......... 2p,p.
上の格子点の個数は,それぞれ,
x=p上の格子点の
2(p+1)
一方,xp,
-2p
-2
練習
2(p+1) 個
線の数は 2 (p+1)*
B1.1
**

L
よって,
2(p+1)×2(p+1)
=4('+2p+1) (個)
(2)領域は、右の図のように、x軸
2 いろいろな数列
(61)
B1-43
y 軸および直線 y=-
囲まれる三角形(境界線を含む).
直線 y=k (k=0, 1, ..., p
上には (2p+1-2k) 個の格子点
が並び、 その総数は,
k
1
k=0
(2p+1-2k)
=2+1+2 (2p+1-2k)
k=1
第1
=-x+6
01234 2p-2k 2p-2)2px
2p-1
=0のときの格子点
(2p+1)
1
=2p+1+p(2p+1) - 2
2.カ(カ+1)
=p2+2p+1(個)
(3) 0≦x≦√y より,
y (500-k2)+1(個)
x²≤y≤500
500
y=x2
また,500 より
0≤x≤500 22.4
J0≦x≦22
501
個
500=105
≒10×2.24=22.4
したがって,
x²≤y≤500
k²
Ay
500g
の条件を満たす格子点の数を
0
22
x
求める.
x=kv500≒22.4
領域内の x=k上にある格子点の個数は,
(500-k)+1=501-k (個)
22
x
よって、求める格子点の個数は,
22
22
k=0
(501-k)=501+2 (501-k)
k=1
k=0 から k=22 まで
である.
・22・23・45
Σk²=n(n+1)(2n+1)
k=1
=501+501・22-
=501+11022-3795
=7728(個)
ocus
x=k 上または y=k上の格子点の数を数えてから和をとる
注〉求めた格子点の個数の確認は,p=1 など, 具体的な数を入れてみるとよい。
また, (2) x=k上, (3) で y=k上の格子点を考えてもよいが、 場合分けが必要となる。
習
条件 0≦x≦200≦y≦x を満たす整数の組 (x, y) はいくつあるか.
→p.B1-49
28
**

Σ(2p+1-2k)
k=0
=2p+1+Σ(2p+1-2k)
k=1
1
=2p+1+p(2p+1)-2(p+1)
=p²+2p+1(1)

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

Σがわからないのは
足し算に直さないからかと思います

moon

理解出来ました！ありがとうございます！