例題197
立体の体積(3)
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切り口の半径がともにαの2つの直円柱が,その中心軸が互いに垂直に
なるように交わっているとき、この2つの直円柱の共通部分の体積を求め
よただし、直円柱の高さはいずれも24より大きいものとする。
考え方
図をかいて座標を設定して考える.そのと
き、右の図のように座標空間で、2本の円
柱の中心軸がそれぞれ軸、Y軸になるよ
うに考えるとよい立体の断面積は平面
z=t のときを考える.
①
②②
ZA
Xx
舞合
平面 z=t での断面の面積を S(t) とすると,
右上の図のように、 2つの直円柱の中心軸がx軸, y 軸になるように立体を置き、
より、x=±√ap
であるから,
S(t)=(2√a²-t2)²=4(a²-t²)
08030-5
よって、 求める体積をVとすると,
V=
-a
a²t
v=S_S(t)dt=2"S(t)dt=24(at)dt=8[at]a
16
3
3
mia
(1から見た図)
ZA
ZA
a
(②から見た図) YA
x
-a
t
10
YA
2x-
2x
x
0
xax
Focus
断面積 S(t) を求め,tについて定積分する
(!)
