Question

雲朵泡泡

求解🙏

3.已知0≤ 20230511≤22024,設函數f(x)=||...||x-220231-220221--221-2]。則
f(20230511)=

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

qn

令 x=20230511

為簡化算式
設 a₂₀₂₃ = |x-2²⁰²³|
a₂₀₂₂ = |a₂₀₂₃ - 2²⁰²²|
⁝
aₖ = |aₖ₊₁ - 2ᵏ|
⁝
a₁ = |a₂ - 2|
則 f(x) = a₁

接下來，可以從a₂₀₂₃探索它的規則：
(搭配圖)
假設不論 x 是多少，只知道 0 ≤ x ≤ 2²⁰²⁴
可以得到一個小結論 0 ≤ |x - 2²⁰²³| ≤ 2²⁰²³
而這個結論很像一開始的條件，只是2024變成2023

不難想到，這可以用來遞推：
如果 0 ≤ aₙ ≤ 2ⁿ (n > 1)
要計算 aₙ₋₁ = |aₙ-2ⁿ⁻¹|
與上面同理，可以得到 0 ≤ aₙ₋₁ ≤ 2ⁿ⁻¹

也就是說：
0 ≤ x ≤ 2²⁰²⁴ ⇒ 0 ≤ a₂₀₂₃ ≤ 2²⁰²³ ⇒ 0 ≤ a₂₀₂₂ ≤ 2²⁰²²
⇒ ⋯ ⇒ 0 ≤ a₂ ≤ 4 ⇒ 0 ≤ a₁ ≤ 2

現在已經得到了 a₁ 的範圍
再加上，a₂₀₂₃、a₂₀₂₂、⋯、a₁ 都是奇數
所以 a₁ = 1

雲朵泡泡

看不太懂🥲

qn

最主要的點是
「若 0 ≤ t ≤ 2m，則 0 ≤ |t-m| ≤ m」
把這個結論套在 a₂₀₂₃ 一直到 a₁
就可以不斷限縮它的範圍

雲朵泡泡

謝謝🙏