Question

ぱそこん

この問題って右下にあるように定数分離を使っても解けると思うのですが模範解答の解き方も覚えないといけないですか？
定数分離の方が自分的にやりやすいのでもし覚えなくて良かったらその方法だけでやりたいです。

4 第4章 三角関数
Think
10/17x
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例題 152 三角関数を含む方程式の解の存在条件
OOT とする. 0 の方程式 cos20+asin0+a=0･･････① を満たす
0 が存在するための定数αの値の範囲を求めよ.
( 岩手大・改 )
[考え方 sing とおくと、2倍角の公式を利用して、1の2次方程式として考えることがで
きる。
(0) f(1) が同符号のとき
f(t) のの係数が正より
区間 ②で③が実数解をもつための条
件は,
f(0)>0 かつ f(1)>0 かつ
f(t)=0 の判別式をDとすると.
D≧0 かつ
y=f(t)の軸が区間内
つまり、tの2次方程式の解の存在範囲の問題となるので 2次関数のグラフと軸の
である.
共有点を考えるとよい.
f(0)=a-1>0より,
解答
a
3 三角関数の加法定理 295
f(0) <0. f(1) < 0
の場合は区間内に解
をもたない。
17
0
a>1 ...... ④
f(1)=2a+1>0より
1
a>
2
8 t
D=α-8a +820 より
a≦4-2√/24+2/2≦a .......⑥
a-8a +8=0.
4=4+2/2
のとり得る値の範囲に注意しながら、 実数解 tの存在範囲を調べればよいが,そのと
上のようにいろいろな場合が考えられ、場合分けの必要がある場合分けをする
ときの着眼ポイントは、「区間の端点の符号」,「軸と区間の位置関係」 「判別式(また
は2次関数のグラフの頂点のy座標)」 である.
t = sin0 とおくと,00πより 0≦t≦1 .....・・ ②
cos20=1-2sin'0=1-2F より ①に代入して,
-(1-2f2) + at + α = 0
つまり、 2f+ at+a-1=0 ...... ③
したがって、 ①を満たす 0 が存在するための条件は,区
間②において,tの2次方程式③が少なくとも1つの実数解
をもつこと, つまり ③より f(t)=21+atta-lとお
とy=f(t)のグラフが区間②でも軸と少なくとも1つ
の共有点をもつことである.
(i) (0) (1) が異符号のとき
つまり,f(0)f(1) <0 のとき
f(0)=a-1
f(1)=2+a+a-1=2a +1
したがって, (a-1)(2a+1)<0
よって、12<a<1
-4<a<0 ......⑦
軸はto より
<<1
4
つまり.
以上(i)~(i)より,求めるa の値の範囲は
したがって、④~⑦を同時に満たすαの値は存在しない。
≦a≦1
Focus
最終的に2次関数の
解の存在範囲における場合分け
48
する。
問題として捉えるこ
とができるかがポイ
ント
区間の端点の符号で
場合分けを考える.
(注)を参照)
f(0)>0,f(1)<0
または,
f(0) <0. f(1)>0 より
1 t
f(0) f(1)<0
f(0)=0 のとき, す
でに f=0 が③の解
となるのでf(1) の符
よって
a=
=1/12 または a=1
号は関係ない.
() f(0)=0 または f(1) = 0 のとき
つまり,f(0)f(1)=0 のとき
(a-1)(2a+1)=0
f(t) =2f+ at+a-l
=21++
第4章
「区間の端点の符号」 「軸と区間の位置関係」 「判別式(または2次
関数のグラフの頂点のy座標)」に着目せよ!
注〉 例題152で 「区間の端点の符号」で場合分けを行ったのは, (i) や (i) の場合は端点の符
号を調べれば,軸や判別式を調べなくても、題意を満たす αの値の範囲を調べること
ができるからである.
このことは, Focus Gold 数学Ⅰ+Aの第2章 「2次関数」 で学んだ 「解の存在範囲」
の問題と関連している.
注) 「定数分離」という着眼から, 例題152を次のように解くこともできる.
2t2+ at+a-1=0 より 2t-1=-at-a
g(t)=2t-1.h(t)=-at-a とすると, ③を満たす
が区間②内に存在するのは, y=g(t) と y=h(t) が区
間②において共有点をもつ場合である.このとき,
h(t)=-a(t+1) より,y=h(t)は定点(-1, 0) を通
る直線であるから, 右の図より、共有点をもつのは,
-15-as
y=g(t)
1
=h(t)
(0, -1) を通る直線から,
より、
1/2sas1のときである。
(1,1) を通る直線まで変化する.
練習
152
とする0の方程式 sin' +acos0-2a-1=0………① を満たす 0
(同志社大 改)

三角関数

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

模範解答の解き方も覚えるべきです
とはいえ結局「解の存在範囲」のまんまなので、
新しく覚えることはあまりないはずです
場合分けを慎重に行うくらいです

この問題は2t²+at+a-1=0で、
aは1次だから別解のように簡潔に解けます

これが、たとえば2t²+at+a²-1=0と
ほんの少し変化しただけで難しくなってしまいます
2t²-1=-at-a²としても、
y=(右辺)のtの関数がaの値によって複雑に変化するので、
この方法は向かないです

Answer 2

らい

高校の時
①関数のまま解く(解答)
②ある程度定数分離する(右下の別解)
③完全に定数分離
の3つともできるようにしろと習いました。
問題によっては、一つの方法でしか解けないものもあるので、できる方がいいと思います。

ただ、この問題に限れば僕も②で解きます