216
問
138 数学的帰納法 (II)
g
nが自然数のとき, 次の各式が成立することを数学的帰納法を
用いて証明せよ.
(1)1+2°+…+2=1/23n(n+1)(2n+1)
.......①
1 2n
・+・・・+
... ② I = ((
(2)1+
12
+
13
(n n+1
手順は 137 と同じですが,n=kのときの式から,n=k+1のとき
精講 の式を作り上げるときに,どんな作業をすればよいのかが問題に
よって違うので,問題に応じてどんな作業をするかを考えなければなりません。
解答
(1) i) n=1のとき立つことを示す
左辺=1,右辺=1・1
==・1・2・3=1
=(1+1) +$
I+A
I+A
よって, n=1のとき, ① は成立する .
ii) n=kのとき
12+2+..+k2=kk+1)(k+1)
...... ①、
が成立すると仮定する.
①の両辺に (k+1)2 を加えて
左辺 =12+22+++(k+1)2
右辺 =1/23k(k+1)(2k+1)+(k+1)2
=/1/(k+1){(2k²+k)+6(k+1)}
=
(k+1)(k+2)(2k+3)
| 左辺に,
12+22 +...
+k²+(k+1)^
を作ることを考える
これは,①の右辺に n=k+1 を代入したものである。
よって、 ① は n=k+1 でも成立する.
i), ii)より,①はすべての自然数nについて成立する.
