Question

よふ

数3積分の、回転体の体積について質問ですが。
この手の問題は回転させた結果、はみ出る部分があるかどうかを判断して問題を解くと思うのですが、はみ出る場合とはみ出ない場合を問題を見ただけで区別することは不可能ですよね？？
回転体の時は常にはみ出ることを意識しないといけないですか？？

基本 例題 167
軸の周りの回転体の体積(2) ①①①①①
265
放物線 y=x-2x と直線 y=-x+2 で囲まれた部分をx軸の周りに1回
転してできる立体の体積Vを求めよ。
CHART
& SOLUTION
回転体の体積
回転体では図形を回転軸の一方に集結
をかくと〔図1]のようになる。 ここで, 放物線
まず, 放物線 y=x²-2x と直線 y=-x+2
と直線で囲まれた部分はx軸をまたいでおり,
これをx軸の周りに1回転してできる立体は,
図2]の赤色または青色の部分をx軸の周り
に1回転してできる立体と同じものになる。
基本例題166 と異なり, この場合はx軸の下側
(または上側) の部分をx軸に関して対称に折
3
12
③ 基本 166
2
ON
x
-1 O
x
-x²+2x
[図2]
り返した図形を合わせて考える必要があることに注意!
解答
ようにとれる手
2x=-x+2 とすると, x-x-2=0 から
(図1)
x=-1,2
放物線y=x²-2xのx軸より下側の部分を,x軸に関して対
称に折り返すと右の図のようになり、題意の回転体の体積は,
図の赤い部分をx軸の周りに1回転すると得られる。このと
き 折り返してできる放物線y=-x2+2x と直線 y=-x+2
の交点のx座標は,-x2+2x=-x+2 を解いて
x=1,2
3
6章
19
体積
よって
V=πS˚, {(−x+2)²=(x²-2x)²} dx+π(−x+2)²dx
+(-x+2x)³dx
=(-x+4x³-3x²-4x+4) dx+x(x-2)'dx
-+ f(x)は上の公式を利用してま
=x[+x-x-2x+4x]
5
+π
5+
-x²+-
8
+π
-19x+x+7=100-207
3
RACTICE 167 8
1515
3
次の3つの図形に分け
て体積を計算する。
+
不等式 -sinx≦y≦cos2x, 0≦x≦で定められる領域をx軸の周りに1回転して
0
できる立体の体積Vを求めよ。
Spoly(12)
[類 神戸大 ]

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

らい

どちらにせよグラフの交点を求めることが多いので、求めると同時にはみ出るのかどうかもわかります。

この例題ではx=1,2で交点を持つことがすぐにわかりますが、多くの関数では上下関係がわからないものが多いので交点を先に求めるはずです

よふ

理解力が乏しくて申し訳ないです。
らいさんが仰っているグラフの交点というのは折り返したグラフとの交点でしょうか？？

らい

折り返す部分もそうですし、x軸との交点なども必要です。グラフを書いて上下関係を示すことが重要なので、グラフを書く際に必要な交点は全て求めます。

よふ

了解です。
ありがとうございました！