Question

あずき

部分分数の分解なんですが、分子がa,b,cの定数の時とbx+cとかの一次関数がでてくる時があるのはなんでですか？見分け方はありますか？

数学Ⅲ A問題,B問題, 応用問題
[a, c の値める]恰
式の両
x(x+
掛けて
3x+2=(x+1)2+bx(x+1)+cx
x=0 とすると
2=a
x=1 とすると1=-c
x=1 とすると
よって
a=2,b=-2,c=1
5=4a+26+c
逆に、このとき,与えられた等式は成り立つ。
X800
222 指 針
これらを解くと
部分分数の分解は、よく出てくる次の形を覚
えておくとよい。
a bx+c
+
(2)
とおく。
x(x2+1) x x2+1
両辺にx(x2+1) を掛けて
1=a(x2+1)+x(bx+c)
右辺を xについて整理すると
1=(a+b)x2+cx+a
両辺の同じ次数の項の係数を比較して
a+b=0,c=0, a=1
a=1,b=-1,c=0
よって与式=S
x
dx
x x2+1
mx+n
a
b
+
(xa)(x-β)
x²+mx+n
x-α x-β
=S{
1 (x2+1)
2 x2+1
1
=log|x|--/2log(x2+1)+C
dx
①
*2
a
b
C
+
+
(xa)(x-β)2
x-α
x-B
(x-β)2
>as
1
x2
lxe+mx+n
(xa)(x²+x+g)
bx+c
+
= -log-
+C
2+1
x-α
x2+px+g
(p2-4g < 0 )
別解 [部分分数に分解]
a bx+c
+
1
a
b
C
aia
x(x2+1)
x x2+1
(1)
+
x2(x+2)
x+2 x
両辺にx(x+2) を掛けて
1=ax2+bx(x+2)+ c(x+2)
x"
とおく。 両辺にx(x2+1) を掛けて
1 = a(x2+1) + xbx+c)
x=0 とすると
1=a
x=1 とすると
右辺をxについて整理すると
S+raies=
x=-1とすると
1=2a+b+c_
1=2a+b-c
at
1= (a+b)x2+ (2b+c)x+2c
両辺の同じ次数の項の係数を比較してmal=
a+b=0,2b+c=0, 2c=1
よって a=1,b=-1,c=0
逆に,このとき①は成り立つ。
x2+1
a
a=-
これらを解くと=121b120=1/2
(3)
+
C=
4-5x2+4
x2-4
b
x2-1
とおく。
4'
2 =
って
与式=-
1
1 2
両辺に (x2-4)(x-1) を掛けて
x2+1=α(x2-1)+6(x2-4)
+
x+2
2
dx200
x x"
=1/loglx+21-10gx-2)+C
+C
=1/108x+2-12/24 +
[別解 [部分分数に分解]
1
右辺をxについて整理すると
x2+1=(a+b)x2-a-4b
両辺の同じ次数の項の係数を比較して
a+b=1, -a-4b=1
5
これらを解くとa=,b=13
2
a
b
5
dx
2
dx
C
+ +
x
x2
よって
=
x²-1
5
1
dx
x^2(x+2)x+2
とおく。 両辺にx(x+2) を掛けて
1=ax2+bxx+2)+ c(x+2)
x=-2 とすると
x=0 とすると
x=1 とすると
1=4a
1=2c
1=a+36+3c
定款
(1
(3)
12(x-2
x+2
(311)dx
x+1
n
5
1 (1og|x-2|-log|x+2)
12
1
1
C=
2
-12 (1oglx-11-10g|x+1)+C
a=11, b = −1
逆に、このとき ①は成り立つ。
x

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

鯛のお造り

全ての分数は、分母より分子の次数を小さくできます。
例えば、
　(x²+x+1)/(x+1) = x + 1/(x+1)
　(2次)/(1次)　→　 (0次)/(1次)

なので、分母が1次式なら分子は0次式(定数)のa、分母が2次式なら分子は1次式のax+bのようにおくのが原則となります。

ただし、画像の「指針」の真ん中の式のように、分母に2乗が含まれる場合は、
　△/〇□² = a/〇 + b/□ + c/□²
と分けても上手くいき、計算が楽になります。
※p/〇 + (qx+r)/□²などとおいても解けないことは無いです

あずき

なるほど！ありがとうございます