Question

なむ

線の前まで分かりますが線の下からどう考えるか分かりません！教えてください😭

3a を定数とする。 xについての方程式 cos'x +2asinx-a-1=0の0≦x<2πにおけ
る異なる実数解の個数を求めよ。
[2006 山口大]

cos'x +2asmx-a-1=0 より
|-sm²x+2asino-a-1=0
よってsm²x-2asinx+a=0
ここでt=smx とおくと -|≦1であり
また
t2-zat+a=0 より
-①
t'= gat-a
よって1/2t2=a(t-1/2)
となるので
y=1/2xy=act-/1/23)
の1stlでの共有点の個数を調べればよい
y
y=1/12
(=-1)
((-1≤t≤1)
(a=0)
2
y=alt-1/2)は傾きaで(1/2.0)を通る直線なので
1/10=1)
y=a(-1/2)
y=a(t-1)が
以下のようになる
(1,1/2)を通るとき 1/2=a(1-2)よりa=1
(-1.1/2)を通るとき 12/2=a(-1/2)よりa=-1/2
また y=act-1/2)がy=1/12tと接するときは
①が重をもっときであるから
この判別式をDとすると1=0より
f=(-a)-a=0から
9(0-1)=0
よって a=0.1 となる
実数xの個数はt=±1のとき、1つのもについてxは1つ
キ±1のとき 1つのについては2つ存在することから
求める実数解の個数は以下のようになる
a>1のとき/2tc1でもは1個だからxは2個
a=1のとき t=1
a=0 のとき
- <acoのとき
でもは1個だから
次は1個
は2個
t=0 でもは1個だから
-1</1/21でもは2個だからは4個
-1とに亡く1/2でもはそれぞれ1個だから
a=-1/3のとき
DCは3個
ac-33のとき
Octく/2でもは1個だからは2個
となる

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

かき

aは直線の傾きですね。
つまり、aの値が変化すると、直線が、(1/2, 0) を中心として、ぐるっと回ります。
それと放物線との交点の個数を考え、そのときのt、およびx の解の個数を考えます。
ポイントは、直線をぐるっと回して、交点の数が変わるときに、場合分けをします。

ちなみに、この回答には、0 < a < 1 の場合がのってないですね。このときは、交点が存在しないから、t も x も解の個数は 0 です。