Question

理

漸化式と極限の問題です。
この問題の解答の、下から4行目の不等式の、左から4番目の項の分母が4^3になっている理由が分かりません…。
1番右の項でnを使った一般式があるから4^3になるというのは分かりますが、そもそもなぜこの一般式になるかが謎です。
なんとなく4^2になるように思えてしまう気もするのですが、なぜ4^3だと言えるのかを教えていただきたいです！🙇‍♂️

11 漸化式と極限 (1)
Example 11 ★★★☆☆
α=3, an+1
an
2
3
+ (n=1, 2, ...) で定められる数列{a} がある。
an
(1) 不等式 an6 を証明せよ。
(2) 不等式 an+1-√6<1(an-√6)2 を証明せよ。
(3) liman を求めよ。
[17 大阪府大]
812
解答 (1) [1] n=1のとき, a1=3> √6 より成り立つ。
[2] n=k のとき, ak>√6 が成り立つと仮定すると
ak+1-√6=
ak²+6
√6=
(ak-√6) 2
->0
2ak
2ak
よって, n=k+1 のときも成り立つ。
Key 数学的帰納法で
示す。
A+B>02272
~ふかえは良い
ている。
[1], [2] から, すべての自然数nについて an>√6 終
(2) 2√6 <am であるからこで再田
an+1-6
(055)
K
2<< de 12/1)00
amでっていうのを使いたいんだよ
になったらひくて
<ことして
(an-√6)2(an-√6)=(an-√6) 終
2an
ここに4あるか?」
2.2
④4
bn+1 <bm²
2
これを
(409
Key (2) 不等式を繰
だったの
56で
(3) b=a-√6 とおくと, (2) から
この関係式を繰り返し用いると,n≧2 のとき
byよりまし
0<bn<=bn-12<-
4
43n-2.......
1
42-1-12-1
4
17
|61|=|3-√6|<1 より lim-24-1-b,2"-1=0 であるから,
はさみうちの原理により
すなわち
n→∞
n→∞
limbn=0
n→∞
liman=√6 答
り返し用いて, はさみ
うちの原理を利用。

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

ちゃんと漸化式を使えばわかると思いますが…
bₙ₊₁ < (1/4)bₙ²より
bₙ < (1/4)bₙ₋₁²……☆ です
さらにbₙ₋₁ < (1/4)bₙ₋₂²で、
☆のbₙ₋₁を(1/4)bₙ₋₂²に取り替えると大きくなります
bₙ < (1/4)bₙ₋₁² < (1/4)( (1/4)bₙ₋₂² )²
bₙ < (1/4)bₙ₋₁² < (1/4)×(1/4)²×(bₙ₋₂²)²
bₙ < (1/4)bₙ₋₁² < (1/4)³bₙ₋₂⁴

理

ありがとうございます！理解できました！