Question

kyyaa

数学Bの数列の問題です。
漸化式なのですが、やり方が全くわかりません。
問題の解き方とかと一緒に教えてください。
よろしくお願いします

(1) a₁ = 2, an+1
=
=an+3n2-nのとき,
3
an=n-
1 n² +n+ 2
である.
(2)q =1, an+1=20+3" のとき,
n
"
an
= 3
4
である.
(3)a=1,a,+1=20+3nのとき,
an
=
5
6
n-1
-
7
|n-
である.
18

数列 漸化式 数学b

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

鯛のお造り

方針書いてみたので解けなければまた聞いてください

(1)
移項すれば、
　a{n+1} - a{n} = 3n² - n
左辺をb{n}とおくと、a{n}の階差数列がb{n}なので、
　a{n}=a{1}
　　　+a{2} - a{1}　　←b{1}
　　　+a{3} - a{2}　　←b{2}
　　　+a{4} - a{3}　　←b{3}
　　　+…
　　　+a{n} - a{n-1}　←b{n-1}
(∵a{1}と-a{1}、a{2}と-a{2}…がそれぞれ打ち消しあって0になるので、a{n}だけ残る)
　　=a{1} + b{1} + b{2} + … + b{n-1}
　　=a{1} + ∑[k=1～n-1] b{k}

(2)
両辺3^{n+1}で割ると、
　a{n+1} / 3^{n+1} = 2a{n} / 3^{n+1} + 1
　a{n+1} / 3^{n+1} = (2/3)･(a{n} / 3^n) + 1
(∵3^{n+1}=3･3^nを用いた)
b{n} = a{n} / 3^n とおくと、b{n+1} = a{n+1} / 3^{n+1}なので、
　b{n+1} = (2/3)･b{n} + 1

(3)
与式でn→n+1とすると、
　a{n+2}=2a{n+1}+3(n+1)
この式の両辺から元の式
　a{n+1}=2a{n}+3n
を引くと、
　a{n+2} - a{n+1} = 2(a{n+1} - a{n}) + 3
a{n+1} - a{n} = b{n}とおくと、
　b{n+1} = 2b{n} + 3
ここからb{n}を求めて(1)に帰着

kyyaa

ヒントありがとうございます！
とりあえず頑張ってやってみます！