Question

都

数学的帰納法についての質問です。この単元の基本的な問題では、①n=1の時等式が成り立つことを示す、②n=kの時等式が成り立つと仮定し、n=k+1の時も成り立つことを示すという解法があると思います。この方法によって等式が証明できるということは理解できるのですが、写真にある63,64は何故その解法で等式が証明できるのか理解できません。また、どういう場合に写真にある解法を使うのか教えて欲しいです。

B1-112 (582)
第8章 数列
812
例題 B1.63n=k-1,k を仮定する数学的帰納法
1
x=t+1 とし,P,="+
t
t"
のn次の多項式で表されることを示せ.
とおく(n=1, 2,... このとき, P.は、
****
812
例題 BI
解答
考え方 自然数nに関する証明については,数学的帰納法を用いる。まずはオーソドック
考えてみよう.
1
(証明)(I) n=1のとき,P,=t+==xより成り立つ。
1
=(xk次の多項式)
(Ink のとき,Pi=+1=(xの
n=k+1 のとき,Pk+1=十
と仮定すると,
Pa =" + p = (++) (+)-(p+++)
=xPk-P-1
ここで,Pa= (xのk次の多項式) と仮定しているから,xPk は xの (+1) 次の多項
Pだけではなく, Ph- の次数についても仮定が必要になる.また, (II)で, n=k-1
ある。しかし、Pro」については、何次式なのかすの多項式なのかもわからない多
wwwwwwwwwwww
とすると, n=1, 2, ...... であるから, k-1≧1 より k≧2 でなければならない。
1
(I) n=1のとき,Pi=t+==xより成り立つ
2
n=2のとき、P=f+1/2=(t+2=x-2より題意は成り立っ
(II)n=k-1,k(k≧2) について、題意が成り立つと仮定する。
(Pk-1 は xの (k-1)次の多項式
数列{α
を満たし
[考え方]
まず
証明
解答
(n≤
のた
3(a
① で
a₁ =
①
a₁=
① 7
ww
a=
し
まり,
と推
2
②
で表されると仮定すると、
(I)
(Ⅱ)
すなわち,
[Phはxの次の多項式
1
tk+1
(+1)-(1+) (+)
=xPk-P-1
ここで,xPk は x (x のん次の多項式)より
xの (k+1) 次の多項式となり, P-1はx (k-1)
次の多項式であるから, Pk+1 は x の (k+1) 次の
多項式となる.
Pk-1 は xの (k-1) 次の多項
式より,
よって, n=k+1のときも題意は成り立つ。
(I), (II)より, すべての自然数nについて題意は成り
立つ.
Pk+1
=(x
+1)次の多項式
mim
-(x
(k-1)次の多職
注)(I)でP」がxの1次の多項式であることだけを示し、(I)の一般的な方法で,P.がsl
2次の多項式であることを示そうとすると, PoP, が必要となり困る。(Pは定
れていない) よって, (I)でP2 も調べておく必要がある.
なお、下の練習 B1.63は, フィボナッチ数列の一般項に関する問題である. (p.1-84参
が
練習
B1.63
nを自然数とするとき, am=-
**** を示せ.
1 √(532-1) = √(57+1)
練習
は整数であること
B1.64
***
➡p.Bl

****
P" は x
ノドックスに
の多項式で
つまり、
=k-1, k
Lloy
3
812
漸化式と数学的帰納法
(583)
B1-113
例題
B1.64 n≦ん を仮定する数学的帰納法
数列{a} はすべての自然数nに対して, 3(ai+a2+ + am²)=nanan+1
****
を満たし α = 2 である. このとき,一般項 α を推測し,これを証明せよ
考え方 まずは具体的に書き出して一般項 αを推測し, それが正しいことを数学的帰納法で
「解答
mi
証明する. n=k のとき, 3(a +a2++a^)=kara +1 となり, 推測した a
(n≦k) を a1,a2,
α に代入して +1のときも成り立つことを示せばよい.そ
このため, das のすべてを仮定する必要がある.
3(ai+a2++a") = nanan+1 ①
①で n=1 とすると,
www
m
=2より
a2=6
①でn=2 とすると.
wwwwwwww
a=2, a2=6より
①で n=3 とすると,
wwwwwww
とおく.
3a=1.aa
3(a^2+a2)=2a2a3
a3=10
3(a^2+a2+a)=3a3
a=14+b
a=2, a2=6,a=10より,
したがって、数列{a} は,初項2. 公差4の等差数列,つ
まり,一般項an は、
第8章
an=2+(n-1)・4-2 ...... ②
と推測できる.
〇多項
式)
百式)
のさ
②を数学的帰納法で証明する.
(I) n=1のとき, a1=4・1-2=2 より ②は成り立つ
Ink を満たすすべての自然数nについて② が成り立
つと仮定すると, ae=4l-2 (l=1,2,
①で n=k とすると,
3(a2+a2++a)=kakak+1 ...... ③
k)
③の左辺 =32(4e-2)=32160-160+4)
e=1
l=1
=3/16/13k(k+1)(2k+1)-16.12k(k+1)+4k
=k{8(k+1)(2k+1)-24(k+1)+12}
=4k(4k²-1)=4k(2k+1)(2k-1) ......④
⑤
(③の右辺)=k(4k-2)ak+1=2k(2k-1)ak+1
④ ⑤より, 4k(2k+1)(2k-1)=2k(2k-1)ak+1
したがって, ak+1=2(2k+1)=4(k+1)-2
となり, n=k+1 のときも②は成り立つ.
Chom
A1, A2, ......, a に
ついての仮定が必要
になる.
2k (2k-1)(0)
両辺を割る.
(
(I), (II)より, すべての自然数nについて, an=4n-2
が成り立つ.
推測し,これを証明せよ.
練習 数列{a}(a>0) はすべての自然数nに対して,
***
3
B1
B1.64aaaaa を満たすこのとき、一般項 αを
B2
C1
C2

数学的帰納法

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

鯛のお造り

例題63
n=1で成立
n=2で成立
n=1、2で成立するのでn=3で成立
n=2、3で成立するのでn=4で成立
n=3、4で成立するのでn=5で成立
n=4、5で成立するのでn=6で成立
…

例題64
n=1で成立
n=1で成立するのでn=2で成立
n=1、2で成立するのでn=3で成立
n=1、2、3で成立するのでn=4で成立
n=1、2、3、4で成立するのでn=5で成立
n=1、2、3、4、5で成立するのでn=6で成立
…

それぞれ証明するのに上の行までで示したことしか使っていないので、以下同様に示せます

まずは普通の帰納法で試してみて、kを使ってk+1を示そうとしたときにk-1も必要であれば63の解法、1～kまで全て必要なら64の解法を用いればよいです

ごく稀にk,k-1,k-2のように3個仮定する帰納法や、1→3→5→7…、2→4→6→8…のように偶奇に分けて帰納法を使う問題もあったりするのでパターンで覚えればいいというものでもないですが、帰納法は普通のやつと63、64の解法の出題率が圧倒的なので最低限その3つを覚えておけば何とかなると思います

都

2個も質問に回答して頂きありがとうございます😭！わかんないところがあったので質問させて頂きます。例題63では何故n=1,2で成立ならn=3では成立するのですか？例題64では何故n=1で成立するならn=2で成立、n=1,2で成立するならn=3でも成立するのですか？そっくりそのまま質問返ししてしまってすみません。

鯛のお造り

63なら解答の(Ⅱ)で、

n=k-1、n=k(k≧2)のときに成り立つ⇒n=k+1でも成り立つ

を示しています。これにk=2を代入すると、
　n=1,2で成り立つ⇒n=3で成り立つ
が言えます。k=3,4,…を代入するとその先も示せます。

64も解答の(Ⅱ)で、

　n≦kを満たす全てのnで成り立つ⇒n=k+1で成り立つ

を示しているので、k=1を代入すると、
　n≦1を満たす全てのn(すなわちn=1)で成り立つ⇒n=2で成り立つ
が言えて、k=2を代入すると、
　n≦2を満たす全てのn(すなわちn=1,2)で成り立つ⇒n=3で成り立つ
が言えます。以下同様です

都

回答ありがとうございます。とても分かりやすかったです。