Question

星光

次の(3)で青線の移り変わりが右のところを見ても分からないのですがどなたか解説お願い致します🙇‍♂️

127 和と一般項
Snを含む漸化式
数列{an} の初項から第n項までの和 Snが
Sn=-6+2n-an (n≧1)
で表されている.
(1) 初項 α を求めよ.
(2)
an と an+1 のみたす関係式を求めよ.
(3)
anをnで表せ.
数列{a} があって,
精講
a1+a2+... +an=Sn
とおいたとき, an と Sn がまざった漸化式がでてくることがありま
す. このときには次の2つの方針があります.
I.αの漸化式にして, an をnで表す
Ⅱ. S の漸化式にして, S をn で表し, an をn で表す
このとき,I,II どちらの場合でも次の公式が使われます.
n≧2 のとき, an=Sn-Sn-1, a1=
(n=1のときが別扱いになっている点に注意)
解 答
Sn=-6+2n-an (n≧1) ......①
(1) ① に n=1 を代入して,
S=-6+2-a
a=S, だから, a1=-6+2-a1, 2a=-4
∴.α=-2
(2) n≧2 のとき, ①より,
Sn-1=-6+2(n-1)-αn-1
.. Sn-1=2n-8-an-1 ...... ②
①-② より
Sn-Sn-1=2-an+an-1
∴. an=2-an+an-1
<S-S-1 = an
.
an=
=1/12am-1+1 (n≧2)
に1/20
よって, an+1=1an+1 (n≧1)
(別解) ①より, Sn+1=-6+2(n+1)-an+1 ......②'
②① より,
Sn+1-Sn=2-an+1+an
. an+1=2-an+1+an
1
.. an+1= +1
(3) an+1=-
1
gan+1 より an+1-2=
また, α-2=-4 だから,
=(an-2
(an-2)
<a=1α+1 の解
α=2 を利用し
n-1
an-2=(-4)
an+1Q=
an-α)
4
1
..
an=2-
2-1
-=2-
と変形
2-3
ポイント
(すなわち, 和) のからんだ漸化式から記号を消
したいとき,番号をずらしてひけばよい
注 ポイントに書いてあることは,
に書いてある公式を日本語で表した
ものです. このような表現にしたのは,実際の入試問題は |の公式の形
で出題されないことがあるからです. (演習問題127(2))
演習問題 127
(1) 数列 {a} の初項から第n項までの和 S が次の条件をみたす.
Si=1, S+1-3Sn=n+1 (n≧1)
(i) Sn を求めよ. (ii) an を求めよ.
(2)a=1,2kan=nan (n≧1) をみたす数列{an) について,
k=1
の問いに答えよ.

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

鯛のお造り

元の漸化式のままでは解けないので、これを、
　(a{n+1}の式)=(定数)×(a{n}の式)
という等比数列の形に変形するのが目標です

まず何も考えずa{n+1}=a{n}=xとした式を準備します
　x=(1/2)x+1…①　(これを特性方程式と言います)
xについて解くとx=2です。この解を①に代入すれば当然成り立つので、
　2=(1/2)×2+1…②
元の式a{n+1}=(1/2)a{n}+1から②を引き算すると、
　a{n+1}-2=(1/2)(a{n}-2)
となり、求めたい形が得られました(変形すれば元の式に戻ることを確認してください)

なぜa{n+1}=a{n}=xとしたのかについては、色々説明の仕方がありますが、a{n+1}とa{n}から"同じ数"を引くために、同じ文字で置いた、と考えちゃうのが楽です

慣れれば、求めたxをいきなりa{n+1}-x=(1/2)(a{n}-x)に代入してしまうのが早いです(問題によって1/2の部分は変わるので注意)

星光

理解できました！有り難うございます！