1辺の長さがαである正四面体 ABCD において, 頂点AからABCN
基本 170 正四面体の高さと体
Mfを下ろす。
AHの長さんをαを用いて表せ。
!) 正四面体 ABCDの体積Vをα を用いて表せ。
点Hから △ABCに下ろした垂線の長さをαを用いて表せ
指針 (1) 直線 AH は平面 BCD
上のすべての直線と垂直であるから
AHIBH, AHICH, AHI DH
ここで, 直角三角形 ABH に注目すると
よって まずBH を求める。
AH=√AB²-BH²
また, BHは正三角形 BCD の外接円の半径であるから, 正弦定理を利用
(2)(四面体の体積)=1/12×(底面積)×(高さ)
(3) △ABC を底面とする四面体 HABC の高さとして求める。 また、3つ
HABC, HACD, HABDの体積は等しいことも利用。
(1) AABH, AACH, AADH
解答
はいずれも ∠H=90° の直角三
角形であり
AB=AC=AD, AH は共通
であるから
直角三角形におい
辺と他の
等しいならば互い
D
である。
00 B
H
△ABH = △ACH=△ADH
よって
BH=CH=DH
(3) 3つの四面体 HA
いから、
(四面体 HABC
-(TEP
が成り立つ。
求める垂線の長さ
(四面体 HA
1
また、(2)より。
から、これら
よって
検討
重心の性質を
正三角形にお
(1)のAH の
なお、重心
三角形
三角形
ゆえに、HはABCD の外接円の中心であり, BH は
ABCD の外接円の半径であるから,△BCD において,
a
a
正弦定理により
=2BH
sin 60°
a
a
√3
よって
BH=
=
2
√3
A
÷
◆H は ABCD の
(数学Aで詳しく
ABCD は正三角
り、
1辺の長さは
60°であ
辺 CD の
であるか
したが
例題 1
EB
a H
√3
2sin 60° 2
△ABH は直角三角形であるから,
三平方の定理により
h=AH=√AB2-BH2 IM
2
a
- √²² - (+1)=√² a² = √6 a
=a²-
(2) ABCD の面積をSとすると
S=11-a² sin 60° √3
a²
4
よって、正四面体 ABCD の体積Vは
v=1/2sh=13 1 √√3
-Sh=
•
4
3
√6 √2
-a². a= -a³
3
12
であ
につ
また
いる
(ABCDの面積)
=
3M
BC・BD sin A
BC
練習
1
③ 170 に
17 C
ありがとうございます！