Question

あるごん

数Ⅲの極限の問題です。
(1)の解答の波線｢帰納法で〜がいえる.｣のくだりについて、帰納法がどのような内容になるのかがわからず、教えていただきたいです🙇‍♀️

20-0
以下で Xn, am を含む式はn = 1, 2,... で成り立つものと
する.
(1) Xn+1=
2xn+
示し
2.xn
Xn+1-√a≤ (xn-√a)
a >√a (a>0) のとき,XnVaを
を示せ.
〔名古屋大 〕
(2) a₁ = 2, an+1 =
an +2
のとき,an>1を示し
an+1
|an+1-√2|≤ √21|an - √2|
を示せ.
(3) 0 < a₁ ≤ 1
, an+1=
2
[徳島大〕
2am(1 - am) のとき, 0 < an≦1/12
an ≦ an+1 を示し lim an
848
=
を示せ.
2
〔三重大〕
《方針》 次の原則 (例外はあります)
漸化式で定義された数列の一般項についての証明
⇒ 帰納法
に従います。 以下ではいちいち明記しませんが, 帰納法を何度も用いていま
す。また数学の文章において 「帰納法」 はすべて数学的帰納法のことです.
Xn+1-Va=
から
《 解答》(1) x1 > √a と
2xn
xn><a=
⇒Xn+1>√a
がいえるので、帰納法でxn>√(n=1,2, ...) がいえる. 次に③から
xn2+a-2√axn=(xn-va)2
2xn
Xn+1- √a= 1Xn-va
2
(xn−√a)
Xn
であり、ここで
0<
Xn-√a
=1-
Xn
Va
xn
≤1
だから

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

MathLove

x₁＞√aとxn＞√a⇒xn＋1＞√aを上で言っています。これが帰納法です。n＝1で成立あるnで成り立つならn＋1でも成り立つ。

あるごん

本当ですね！！とてもよく分かりました！
回答してくださりありがとうございます🙇‍♀️