重要 例題 57 独立な試行の確率の最大
423
00000
さいころを続けて100回投げるとき,1の目がちょうど回 (0≦k≦100) 出る確
率は 100Ck ×
解答
6100
であり,この確率が最大になるのはk=
のときである。
[慶応大] 基本49
かし,確率は負の値をとらないことと nCr=
や階乗が多く出てくることから, 比 pk+1
(ア) 求める確率をDとする。 1の目が回出るとき,他の目が100回出る。
(イ)確率pk の最大値を直接求めることは難しい。 このようなときは,隣接する2項
k+1とかの大小を比較する。大小の比較をするときは,差をとることが多い。し
n!
r!(n-r)!
を使うため、式の中に累乗
をとり、1との大小を比べるとよい。
þk
pk
Dk+11pk<D+1 (増加),
pk
pk+1 <1⇔pk>ph+1 (減少)
CHART 確率の大小比較
Et
pk+1
をとり、1との大小を比べる
pk
さいころを100回投げるとき, 1の目がちょうど回出る
確率を とすると
6
Dk = 100 Ck ( 11 ) * ( 5 ) 100 * = 100 Cr×
75100-k
6100
pk+1
100!.599-k
ここで
×
pk
(k+1)!(99-k)!
k!(100-k)!
100!-5100-k
出
k!
(100-k)(99-k)! 599-k 100-k
(k+1)k!
5.59-5(k+1)
(99-k)!
Dk+1
> 1 とすると
>1
pk
5(k+1)
両辺に 5(k+1) [0] を掛けて100k5(k+1)
10月
「反復試行の確率。
pk+1=100C(+) X
5100-k+1)
6100
・・・の代わりに
+1とおく。
2章
独立な試行・反復試行の確率
95
これを解くと k<- =15.8···
6
よって, 0≦k≦15のとき
Pr<Pk+1
は 0100 を満たす
整数である。
Dk+1
<1 とすると
100-k<5(k+1)
pk
pkの大きさを棒で表すと
95
これを解いて k> -=15.8･･･
最大 (C)
増加
減少
よって, 16のとき
pk> Pk+1
したがって
po<かく...... <か15<16,
P16> D17>>P100
2012
よって, Dr が最大になるのはk=16のときである。
15
17
16
100/
99
