Question

Hi（受験生）

例題74.2
恒等式という記述がないですがこれでも問題ないですよね？
（3枚目を確認してほしいです。2枚目はそこまでの導入も一応載せただけであり、おそらく記述に問題はありません。）

よ。
本 65
基本例 74 第2次導関数と等式
1) y = log(1+cosx) のとき,等式 y"+2eY =0 を証明せよ。
131
00000
自
(2)y=exsinx に対して, y”=ay+by' となるような実数の定数a,bの値を求
めよ。
[(1) 信州大, (2) 駒澤大]基本 73
指針第2次関数y”を求めるには、まず導関数を求める。また,(1),(2)の等式はとも
にの恒等式である。
(1)y" を求めて証明したい式の左辺に代入する。
またe-xで表すには,等式 elogppを利用する。
(2)y', y” を求めて与式に代入し, 数値代入法を用いる。 なお, 係数比較法を利用す
→
ることもできる。 ・解答編 p.94 の検討 参照。
(1)y=2log(1+cosx) であるから
2sinx
1+cosx
<logM = klogM
なお, -1≦cosx≦1と
(真数) > 0 から
_ 2{cosx(1+cosx)=sinx(-sinx)} | 1+cosx>0
解答
y' =2•
(1+cosx)
こでは
1+cosx
よって
y"=-
しょう
x2+3),
-12x)'
x)',
in 2x)
(1+cosx)
2(1+cosx) _ _ _ 2 ( Nhật
(1+cosx) [
== 1+cosx
また, Y = log(1+cosx) であるからex=1+cosx
2
ゆえに
2e2
2
2
=
y
1+cosx
よって y"+2e-1/2=-
2
2
+
=0
1+cosx
1+cosx
x+cos2x=1
elogp=pを利用すると
elog(1+cosx)=1+cosx
3章
1 高次導関数、関数のいろいろな表し方と導関数
ga),
gay
anx
cos2y
g(x)をxで
・もの。
v'
(2) y=2e² sinx+ex cos x=e²x (2 sinx+cosx)
y=2e(2sinx+cosx)+e (2cosx−sinx)
=e2x(3sinx+4cosx)
......
①
ゆえにay+by=aesinx+be2x(2sinx+cosx)
=e2x{(a+26)sinx+bcosx}
y" =ay+by' に ① ② を代入して
2x
(3sinx+4cosx)=e2x{(a+26)sinx+bcosx}
4=b
③はxの恒等式であるから, x=0を代入して
π を代入して
また,x=2
これを解いて
このとき
って
3e"=e" (a+26)
a=-5,6=4
(③の右辺)
4(e2)(2sinx+cosx)
+ex(2sinx+cosx)
参考 (2) のy"=ay+by'
のように、未知の関数の
導関数を含む等式を微分
方程式という(詳しくは
p.353 参照)。
③が恒等式 ③に
x=0,
を代入しても
成り立つ。
=e2x{(-5+2.4)sinx+4cosx)=(③の左辺) 逆の確認。
a=-5,b=4
[S][]

21
=
=
=
M
11
ex sind &
excosxt resinx
ex (2 sina cosa)
2eth ( 2 sim + cos x) + e²x (2005h - sinx
=4e simx + 2e cosx + 2e cost- esind
30 sinx +4e cosx
N
よっく
ex(3sinx+4cosa)
af 167 - ae sim + be" (25m² + cose)
=
=
exx (a+b) simx + bcosx (

こ
+bとなるとき
ex(jsinx+4cosx)=ゼ)(a+b)sima+boostl
el (a+b-3 sim+(b-4100sx1=0
これが成り立つとき
a+2b-3=0-1b-40-②
②よりb=4
①に代入しく、a+83=0
したがっく
_a=-5,b=4
a=-5

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

MathLove

個人的には書かないとダメ派です。というのも係数比較ができるのは限られた条件下のみだからです。例えばベクトルで係数比較する際には、一次独立であることを必ず書く必要があります。ですから係数比較をする時にはそれを行える理由(今回で言えば恒等式だから)を書いた方が良いのかなと感じます！けど実際の所は自分含め多くの受験生はそこまで深く考えてないと思います。もはや答案を書く上での作法的なものになってると思います。

Hi（受験生）

丁寧にありがとうございます！
今後極力「恒等式」というワードを使うようにします！