例題 32.5 確率変数の平均・ 標準偏差平
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袋の中にn個(n≧3) の玉が入っている。 そのうちの2個は白玉で,残
りは黒玉である.この袋から1個ずつ玉を取り出していく。ただし、取り
出した玉は袋の中に戻さない. 白玉がはじめて出るまでに取り出される黒
玉の個数Xの平均と標準偏差を求めよ。
[考え方 たとえば, X=3 となるのは、3回目まで黒玉が取り出され, 4回目にはじめて白玉が
取り出されるときで,その確率は,P(X=3)=n-2.n-3.n-4. 2
解答
n n-1 n-2 n-3
である.
最初に袋の中に入っている黒玉の数はn-2 (個) であるから, 確率変数Xのと
り得る値は, 0, 1,2,3,
n-2である.
また,Xが0となる確率は,P(X=0)=である
2
3-(k-1)-2-
n
1≦k≦n-2 のとき,
る。Xが
P(X=k)=n-2.n-3 n-4
n-k-1 2 _n-k-1 2
nn-1n-2
よって、黒玉の個数Xの平均は、
2 n-2
n k=1
(
n
2
n(n-
-1)
となる。 2
al
*
n
赤の2(m-1-2月33)
n-2
3
Z-
また,
n
+
J=0.01
E(X)=0-+2k. n-k-1 2
n-2
n-2
(n-1)Σk-k²
k=1
(n-1) (n-1) 1/2(n-2)(n-1)
-1 (n-2)(n-1)(2-3)}
2 n-2 n-k-1
E(X2)=02-+
n k=1
2
n-2
Σk²(n-k-1)
n(n-1)=1
"-2
n-1
2(n-k-1)
k(n-k-1)-1)
n-1 家めよ
k=1
を5回繰り返し、
k=n(n+1)
Σk²= n(n+1)(2n+1)
k=1
り出すとき、
(Z)を求めよ。
E+ X-X (S)
n-k+1n-kn
2
-2
n-1
n(n-1)
xn(n-1)1
21 {(n−1) Σk
k=1
k=1
+
n(n-1){(n-1)-(n-2)(n-1)(2n-3)-(n-2)
(n-1)(n-2) (2n-3_n-2)
1)(n-2)(2m-38-2)=(-1)("-2)を求めよ。
よって,分散は, V(X)=E(X°)-{E(X)}よ
(n-
(n-2)(n-1)}
3
の
(n-1)(n-2)
6(n-2)²= (n-2) (n+1)
18
したがって、標準偏差は, (X)=V(X)=
V
/2(n-2)(n+1)
6
練習 赤い本が2冊、青い本がn冊ある。このn+2 (冊)の本を無作為に1冊ずつ選び、
B2.5 本棚に左から並べていく。 2冊の赤い本の間にある青い本の冊数を X とすると
***
Xの平均と分散を求めよ.
第2 F
B
B
C
C
