基礎問
(2)
n を最大にするn を求めよ.
119 確率の最大値
白玉5個,赤玉n個の入っている袋がある。この袋の中から、
2個の玉を同時にとりだすとき, 白玉1個, 赤玉1個である確率
を pm で表すことにする.このとき,次の問いに答えよ。ただし、
n≧1 とする.
(1) n を求めよ.
(1) DnF
(nt5) (n+4)
5D
2.5.n
(n+5)(n+4)
10n
(n+5)(n+4)
n!
ncy=
r!(n-r)!
Dn+1=
(2)
10(n+1)
(n+6)(n+5)
×
pn
(n+5)(n+4)
10n
+1の形で1と大
(n+1)(n+4)
n(n+6)
=1+
4-n
小を比較
n(n+6)
pn+1-1=
4-n
pn
n(n+6)
<n(n+6)>0 だから
よって, n<4のとき
Dn+11
符号を調べるには分
Pn
子を調べればよい
|精講
条件に文字定数々が入っていると、確率は”の値によって変化する
ので、最大値が存在する可能性があります. 確率の最大値の求め方
は一般に,関数の最大値の求め方とは違う考え方をします.それは,
変数が自然数の値をとることと確率≧0であることが理由です. この考え方は、
パターンとして頭に入れておかなければなりません.
n=4 のとき, Ds=ps
n≧5のとき,n+1<1
pn
: p₁<p2<p3<p4=p5> p6> p7>.......
よって, n を最大にするnは 4,5
この式をかく方がわ
かりやすい
その考え方とは次のようなものです. いま, すべての自然数に対してp">0
のとき, ある自然数Nで,
ポイント
確率の最大値は,わって1との大小比較
n≦N-1のとき
Dn+1>
>1
pn
pn+1
n≧N のとき,
<1
pn
この考え方は確率以外でも
① 定義域が自然数 ② 値域>0
をみたす関数であれば利用できます。
たとえば,f(n)=1 n(n+3)
が成りたてば, nで表されている確率は,
2"
Þ₁<þ2<<þN> N+1>......
などです. この関数は n=2で最大になりま
すので、各自やってみましょう.
が成りたちます. だから n=Nで最大とわかります.
すなわち,
pn
Dn+1 と1の大小を比較すればよいのです. ここで,
演習問題 119
Pn+1 >1Pn+1-pn>0
Pn
ですから, Pn+1-0の大小を比較してもよいのですが、 確率の式という
のは、ふつう積の形をしていますので,わった方が式が簡単になるのです.
ある袋の中にn個の白玉が入っていて、そのうち5個に赤い印
がついている。その袋から, 5個の玉を同時にとりだしたとき,2
個の玉に赤い印がついている確率をpm とおく ただし, n≧8と
する.このとき、次の問いに答えよ.
するn を求めよ.
