Question

頑張るぞ

なぜ4点ABCDから出来る平行四辺形はこの3つだけなんですか？？円順列的に考えて3つの並び替えで3!で6通り存在しないのは何故ですか？？

Think
例題 C2.9 複素数平面での平行四辺形の頂点
形式
(365) C2-1
****
複素数平面上に4点A(1-2), B(z), C(iz), D(z) を定める. 四角形
ABCD が平行四辺形であるとき, 複素数 zを求めよ.
考え方 四角形ABCD が平行四辺形であることをベクトルで表すと, AB=DC であるから
複素数平面でA(α), B(β), C(y), D() のとき, β-α=y-δ である.
四角形ABCD が平行四辺形より, AB = DC, AB/DC
解答
である.
よって、
z-(1-2i)=iz-ス
つまり、
z=(i-1)z+(1-2i)
①の両辺の共役複素数をとると,
_z= (-i-1)z+(1+2i)
ここに①を代入すると,
①
www
D(z)
C(iz)
O
B(z)
(8O+AO)SAA(1-2i)
z=(-i−1){(i−1)z+(1−2i)}+(1+2i)
したがって,
0% z=2z-2+3i
z=2-3i
0
th
1=2+b)+(nds) ①
OAO)+(内
(別解)四角形ABCD が平行四辺形のとき,対角線 AC
と BD の中点は一致するから、
A (1-2)+iz
2
た
z+z32. OA
2点α, βを結ぶ線分
(S)(1) A01:1
したがって,
ad
よって,
(1-iz+z=1-2i
の中点は,
a+β
(1-2i)+iz=z+z
2
(p.C2-52 参照)
①の両辺の共役複素数をとると,
(1+i)z+z=1+2i.......②
① ×(1+i) ② より を消去すると,
z=2-3i
Focus
四角形ABCD が平行四辺形A0
.00
x+Q+D
AB=DC または AD=BĆ あるいは、対角線の中点が一致
z= a + bi (a,b は実数) とおくと,
z=a-bi
これらを,z-(1-2i)=iz-zに代入して解くこともできる。三
"はABC
AD
習
例題 C2.9 の4点 A, B, C, D が平行四辺形の頂点となるような複素数zのうち,
2.9 例題 C2.9で求めた z=2-31 以外の z をすべて求めよ.

312 +9
②を代入すると、 |z3il=4
=zz+3iz-3iz +5 +4
よって,|z-3i|≧0 より,|z-3i=2
C2.9
複素数平面上に4点A(1-2i), B(z), C(iz), D(z) を定める。
1-98
(i) 四角形 ABDC が平行四辺形と
なるとき る。
4点 A, B, C, D が平行四辺形の頂点となるような複素数のうち、 例題C2.9で求めた
z=2-3i (四角形ABCD が平行四辺形となるとき) 以外の をすべて求めよ.
YA
D (z)
AC=BD, AC // BD より,
iz-(1-2i)=zーズ
つまり,
cosat-
z= (1+iz-(1-2)
=cos(3x-alt
C(iz)
O
16-1)
(z=a+bi (a,bは実数)と
おくと, z=a-bi
B(2)
………………①
これらを代入して解くことも
できる.
●A (1-2i)
B
B

Check!
練習
Step Up C2-12
章末問題
(290)
第5章 複素数平面
01 0
①の両辺の共役素数をとると,
[(1-fz-(1+2i)
ここに①を代入すると,
z=(1_i){(1+iz-(1-2)-(1+2i) 金
したがって
z=2z+i
よって、
i
( 四角形 ACBD が平行四辺
形となるとき
AC=DB AC/DB より.
iz(1-2i)=zz
つまり、
=(1-i) z+(1-2)
・②
②の両辺の共役複素数をと
ると,
z=(1+i)z+(1+2i)
YA
D (z)
O
B(z)
A(1-2)
•C (iz)
ここに②を代入すると.
+
z=(1+i){(1-i)z+(1-2i))+(1+2i)
したがって
Cis
z=2z+4+i
+sis
よって
z=-4-i
(i), (ii)より, z=-i, -4-i
別解 (1) 四角形 ABDC が平行四辺形となるとき
対角線 AD と BCの中点は一致するから.
(1-2i)+z_z+iz
2
よって,
したがって,
2
(1-2i)+z=z+iz
(1+i)z-z=1-2 ......①
(+)
①の両辺の共役複素数をとると
e+sic
(1-i)z-z=1+2 ......②
1+2+2
①×(1-i)+② より を消去すると,
z=-i
18-
WOS-DA
() 四角形 ACBD が平行四辺形となるとき
対角線 AB と CD の中点は一致するから.
(1-21)+2_iz+z 6380
2
したがって,
よって,
2
(1-2i)+z=iz+z
ERN
3
.0%
(1-i)z-z=-12 ......③
③の両辺の共役複素数をとると,
(1+iz-z=-12 ...... ④
(4)
③×(1+i) +④ より を消去すると,
z=-4-i
Z
(i), (ii)より,z=-i, -4-i
D

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

理屈としてはそうですが、
与えられたB,C,Dの条件からB,C,Dは自由に動けません
CはBを原点中心に90°回転させた点だし、
DはBを実軸対称に移動させた点です
その関係性から位置関係に制限がかかります
具体的に図形的にそれを読むのは難しいでしょう

何より、例題で①ABCDが平行四辺形の場合について
調べているので、
あとは②ABDCの場合と③ACBDの場合しかありません
（たとえばADCBは①と同じ）
これらの場合分けを尽くしているので、
疑義の差し込みようはないかと思います

頑張るぞ

理解出来た気がします！！！Zを定めたら後のＣとZも必然的に定まるということですか？？

和

そうですね

頑張るぞ

ありがとうございます！！理解出来ました！！