Question

ゆめら

この問題で矢印のところがわかりません。
教えてください🙇‍♀️

基本 例題 31
an+1=pan+(nの1次式) 型の漸化式
次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。
a1=3, an+1=2an-n
CHART & SOLUTION
漸化式 α+1=pan+(nの1次式)(カキ1)
A
00000
① 階差数列の利用
②
an+1-f(n+1)=p{an-f(n)} と変形
②の変形については右ページのズーム UP を参照。
下の解答は1の方針による解法で,別解は2の方針による解法である。
解答
基本 29 30
辺々引いて
an+2=2an+1-(n+1),
an+1=2an-n
an+2-an+1=2(an+1-an)-1
bn=an-an とおくと 6+1=26-1 ......
①
また
b1=a2-α= (2・3-1)-3=2
①から
bn+1-1=2(6-1)
更に
b1-1=1
ゆえに、数列{bm-1}は初項1, 公比2の等比数列となり
bm-1=1・2月-1
すなわち
6n=2"-1+1
よって, n≧2 のとき
n-1
an=a1+(2-1+1)=3+
k=1
=2"-1+n+1
2-1-1
2-1+(n-1)
a = 3 であるから,この式は n=1のときにも成り立つ。
したがって
α=21+n+1
別解 an+1=2ann を変形すると
与えられた漸化式で
n+1とおく。
α=2α-1 を解くと
a=1
inf. bn=2"-1+1 を求め
した後は
an+1=2ann
lan+1-an=2"-1+1
から αn+1 を消去して
an=2"-1+n+1
と求めてもよい。
← n=1 とすると
2°+1+1=3
an+1-(n+2)=2{an-(n+1)}
また
a₁-(1+1)=3-2=1
この変形については右
ページのズーム UP を
参照。
ゆえに、数列{an- (n+1)} は,初項1 公比2の等比数列
となり
an-(n+1)=1・2"-1
したがって α=2"+n+1

数列 漸化式

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

多分その本のもっと前、
漸化式の最初らへんに載っています
「aₙ₊₁=paₙ+qはまず特性方程式α=pα+qを解く」
みたいなやつが

それが身に付いていないようです

ゆめら

特性方程式が身についてませんでした！！
ありがとうございます。この問題の前に特性方程式解いてきます