mx35
重要 例題 50
平面上の点の移
右の図のように, 東西に4本, 南北に4本の道路が
ある。 地点Aから出発した人が最短の道順を通って
地点Bへ向かう。 このとき,途中で地点Pを通る確
率を求めよ。 ただし, 各交差点で, 東に行くか、北
に行くかは等確率とし,一方しか行けないときは確
率1でその方向に行くものとする。
CHART & THINKING
求める確率を
A→P→Bの経路の総数
A→Bの経路の総数
から、
4C3X1
6C3
とするのは誤り!
この理由を考えてみよう。
4
基本 48
G
n
返
(1)
は、どの最短の道順も同様に確からしい場合の確率で,本問
は道順によって確率が異なるから, A→Bの経路は同様に
確からしくない。 例えば,
A1
P11Bの確率は 1/2×12×12×1/2×1×1=16
A1P11Bの確率は 1/2×12×1/2×11×1=1/3
A
B
よって,Pを通る道順を, 通る点で分けたらよいことがわかるが,どの点をとればよいだろ
うか?
解答
右の図のように, 地点 C, C′', P' をとる。
A-A
Pを通る道順には次の2つの場合があり,これらは互いに
排反である。
[1] 道順 AC′ →C→P→B
この確率は 1/x1x1/2
2X1X
[2] 道順 AP'→P→B
B
P'
P
A
CC
この確率は1/2)(1/2)x1/12×1×1=216
1 3
よって、求める確率は
8
16
5 16
×
|C→Pは1通りの道順であ
注意
[1] →→→↑↑↑と進む。
[2] ○○○ ↑↑と進む
○には2個と↑1個
ありがとうございます！