Question

りり

(1)でDが原点になるように並行移動させて三角形の面積を求めようとしましたが、私の答えが解答と違います。どこが間違っていますか？

△PABの面積が最小になるのは,点Pと直線AB
の距離が最小になるときであり,それは,Pでの
y=xの接線がAB と平行になるときである.
y=xのとき,y'=2xであるから, Pにおける接線
の傾きは2t. これがABの傾き1に一致するとき,
t=1/2. よってP (1/2, 1/4) のとき,面積が最小 (以下省略)
A-
B
4 APAB の AB を広
微分法を用いた.
05 演習題 (解答はp.101)
2次関数y=x' で表される放物線と, 直線 y=4が異なる2点A, B で交わっている(た
だし, 二つの交点のうちょ座標の小さいほうをAとする). また, 点 (0, 4) をC, 点
(1,1) をDとする. 点Pを線分AC上にとる。 さらに, 原点を0としたとき, 放物線の
曲線 AO 上に1点を取り, その点とPとDを頂点とする三角形のうち面積が最大になる
点をQ とする. そのときできる三角形 PQDの面積をSで表す.
(1) 点Pの座標が1のとき, Sの値を求めよ.
(2) S=3をみたす点Pの座標を求めよ.
84
(1)から PC
Sの一般
( 神戸女子大)
おいた方が効

X
1200
+32 (B-C) -251
sinc(全て回
2次
(d+(3)+sh(d~(^)
A+B=
◎(8.43)として、
P.Q.Dを軸に移動すると
443+ P(p-1) @ (8-18-1) + (0.0)
=
= 1 (p-1) (8-1)-4 (8-0)11
=1/214-08-48-p+i++)
((((-1) (+2) | ½=
(1-4)
21 (p-1) (-)-15178-5p+91
g-2002. 最大化-8(P-1-5p9
-150+1811
-250021
-13p+1809
よって、1/2(-13p+18)

x+y=8
8
y=-x+
Pは① と ⑤の交点で, ①と⑤を連立させて
8
2x=-x+-
5
8
x=
15
9
⑤
4p2-20p+25
-p+4=
4(p-1)
4(p-1)
(2p-5)2
4(1-p)
(2p-5)²
であるから, S=
Po(15
8
16
8(1-p)
15
(1) =-1 を代入して, S=-
-=3により,(2p-5)=24(1-p
49
16
Qは③と⑤の交点で, ③と⑤を連立させて
1
8
16
16
8
x=-x+
x=-
Qo
(2)
2
5
15 FL
15' 15
(2p-5)²
8(1-p)
注 A(1,1)は直線y=x上にあり, y=2mと
4p²+4p+1=0
1
"
p=
1
y=1/2xは直線y=æに関して対称(xとyを交換した
ものになっている)なので,BとC, Po と Q は y=x
に関して対称である.
別解 [面積が最大となるときを図形的にとらえる]
(②までは同じ) △PQD の面積が最大になるのは, PD
を底辺と見たときに高さが最大になる場合であるから,
Q における y=x2の接線はPDに平行である(図から,
このようなQは曲線 AO上にある) ここで, y=x2の
ときy=2xであるから, 傾きについて
の
(2)があるので,まずP,Qの座標を, q
5
としたときの△PQD の面積を求め, q を動かしたとき
の最大値Sをかで表そう.
YA
AP 4C
B
2q=
3
p-1
3
.
q=
2(p-1)
解 P(p, 4), Q(g, g2) と
おく. D(1, 1) である.
このとき,
y=x2
DP = (3)
(別)
D(1, 1)
Q
DQ=
-2
No
②-1/2 (g-1)((p-1) (g+1-3
= 21 | ( 2 (1)² - 1) − 1 ) ( 2 + ( p −1)-3)|--
(5-2)2
8(1-p)
であるから (-20-2≦
①),
△PQD=
APQD-1/12 | (カー1) (2-1) - 3(4-1)|..
を固定し, gを動かしたときの②の最大値が S. ②
の絶対値の中は4の2次関数でありf (g) とおくと,
②
6 (3) 結局, tの最小値を求めることになる.
直交条件からp, gの関係式が得られて,g を消去すると
相加 ・ 相乗平均の関係が使える.
f(g) = (p-1)g2-3g-p+4
1
(1)y=1/22のとき
32
947-
9-
-p+4
y= x²/
4(p-1)
......④
y=xであるから,点Pにお
ける接線の式は
M
Q
P
ここで, ①に注意する。-20により10であ
るから, z=f(g) のグラフは上に凸であり,③により,
f(-2)=4(p-1)+6-p+4=3p+6≧0
f(0) =-p+4> 0
点Qにおける接線の式は,y=qx-
y= p(x-p)+p
1
O
x
9
P
XR
y=pox-
1
D2
........ ①
m
77
よって,-2≦g≦0のとき(g) 20であるから,
APQD=
=1/2f(g)
① ② により,
(p-g)=1/12 (22)
p+q
:.x=
3
2
z=f(g) の軸g=
2(p-1)
-2
0
①に代入してy= であるから, R
pq
p+q
pa
3
3
について, −2≦p0 のとき
1
2
2' 2
3
になる. 最大値は④により,
-2(-1)
であるから, 右図のようになり, f (g) は⑤のとき最大
2(p-1)
であり,MとRの座
2
4
標が等しいから, 線分 MRはy軸に平行である.
101

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

P'のy座標は4ではなくて3です